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三角形内角和一定是 180°吗?

2019-05-21  peterchiu...

如果有人问你:“三角形内角和等于多少?”你肯定会不假思索地告诉他:“180°!”

假如那个人说不是180°,那么你可能会认为他无知。

其实,“三角形内角和等于180°”只是欧几里得几何学(Euclid Geometry)中的一个定理。也就是说,在欧几里得几何学里,一个三角形的内角和等于 180°,但如果跳出欧几里得几何学的范围,一个三角形的内角和就不一定等于 180°

举个栗子,地球的赤道、0 度经线和 90 度经线相交构成一个“三角形”,这个“三角形”的三个角都应该是 90°,它们的和就是 270°

你感到奇怪吗?你知道除了欧几里得几何(欧氏几何)学外,还有其他几何学吗?这些几何学称为非欧(欧几里得)几何学

欧式几何

想要探索非欧几何,先要了解欧式几何。欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学。有时单指平面上的几何,即平面几何。数学老师课堂上教授的就是欧式几何。它有以下几条简单的公理:

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延长成一条直线。

3、给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角和,则这两条直线在这一边必定相交。

这五条“显然”的公理是平面几何的基石,我们也是仰仗这些公理干掉了一道道几何题目。但机智的你有没有发现第五公设(平行公设)和前面的四个公设比较起来,文字叙述冗长,而且不那么显而易见,有违数学的简洁美感呢?

在《几何原本》中,证明前28个命题并没有用到这个公设,这很自然引起人们考虑:这条啰哩八嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出,也就是说,平行公设可能是多余的。

罗氏几何的诞生

因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达2000多年的关于“平行线理论”的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐怀疑证明的路子走得不对。第五公设到底能不能被证明?

到了十八世纪,俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基( Lobachevsky)在证明第五公设的过程中走了另一条路。罗巴切夫斯基的爸爸“老罗”也一生致力于研究第五公设的证明,但并没有什么成果,老罗曾告诫自己的儿子“小罗”:“你不要搞第五公理了,我都研究一辈子了,都没搞出来,这简直是数学家的噩梦。”

然而小罗并没有听从老爸的建议。他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题“过直线外一点,至少可以作两条直线和已知直线不相交”,用它来代替第五公设,然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾,就等于证明了第五公设。我们知道,这其实就是数学中的反证法

罗氏几何符合双曲面模型

但是,在他极为细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后,罗巴切夫斯基得出两个重要的结论:

第一,第五公设不能被证明。

第二,在新的公理系统里展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上没有矛盾的新的定理,并形成了新的理论体系。这个理论体系像欧氏几何学的理论体系一样是完备的、严密的。

左:欧式几何  右:罗氏几何

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何学,简称罗氏几何学(Lobachevskian geometry),也是我们最早发现的非欧几何学。

罗氏几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方,仅仅是把欧氏几何学平行公理“过直线外一点,能并且只能作一条直线平行于已知直线”用“过直线外一点,至少可以作两条直线和这条直线平行”来代替,其他公理基本相同。由于平行公理不同,经过演绎推理却引出了一连串和欧氏几何学内容不同的新命题。 

机智的你可能已经发现,上面这些命题和我们的直觉是矛盾的。但是,数学家们经过思考提出,可以用我们习惯的办法作一个直观“模型”来证实它的正确性。

拟球曲面

1868 年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何学可以在欧几里得空间的曲面(例如拟球曲面)上实现。他发现这里三角形的三个内角之和小于180°,这相当于给罗氏几何找到了一种有实际意义的模型。

那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现了第五公设不能被证明,同时也涉足了非欧几何学的研究。但高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害,不敢公开发表自己的研究成果,只是在书信中向朋友表示了自己的看法,并没有公开支持罗巴切夫斯基的新理论。

黎曼几何学

那么既然我们能把第五公里改成“过一点,有多条直线与已知直线平行”,是不是也可以改成“过一点,没有直线与已知直线平行”呢?

于是,有个黎曼聪明人,结合欧式几何的前四条公里加上“过一点,没有直线与已知直线平行”创建了自己的几何——黎曼几何。比如,在一个球面上,过直线外一点所画的直线一定与已知直线相交。所以黎曼几何又称椭球几何

##可能会有人说地球仪上的纬线是平行的呀?!但是注意曲率展开后的纬线是弯的,纬线上任意两点最短连线不是纬线本身,当然赤道除外。球面上的直线只有大圆。##

在航海学上黎曼几何也得到了广泛应用。地球本身就是曲面的,如果使用欧式几何,只会得到错误的结论。

Credit:B站 肉兔君

近代黎曼几何学在广义相对论里得到了重要的应用。物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里,爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念,他认为时空是弯曲的,这恰恰是和黎曼几何学的背景相似。正因为如此爱因斯坦在看到了罗巴切夫斯基和黎曼的发现之后,才会欣喜若狂,他终于找到了一种可以解释相对论的数学工具了。

数学的意义就在于,它经常走在其他科学的前面,我们通过数学的研究,可以为其他科学提供很多帮助。

来源:牛油果进化论

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