|
非欧几何偷换概念
杨世家
甘肃省金昌市理工中等专业学校（737100）
摘
要
罗巴切夫斯基等人竟然从欧氏几何体系出发，创立了一种非欧几何，
黎曼先生也不甘寂寞，变换着罗巴切夫斯基的样子，创立了另一种非欧几何。贝特拉米等人竟然把欧氏几何中的“曲面”偷换成“平面”，“测地线”偷换成“直线”，做出直观“模型”来解释非欧几何。真是荒唐遗憾，与欧氏几何完全矛盾的罗氏几何竟然用欧氏几何来解释，欧氏几何竟然支持了非欧几何。
关键词“曲面”偷换成“平面”，“测地线”偷换成“直线”
0．引言
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显然文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到第五公设，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论“的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
1．前人的怀疑是多余的
其实，第五公设文字叙述冗长也好，用得晚也好，用得少也好，证明不了也罢。所有这些都是正常的，没有什么好奇怪的，没有什么可怀疑的。恰恰相反，这只能说明第五公设只能作为公设，而不能作为定理，到此，只能说问题已经解决，不需要再纠缠。所有的纠缠都是由数学家们的情感所导致的，完全是多余的,有句谚语用到这里就十分恰当，那就是：“真理再向前走一不就是谬误”。
很遗憾，到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，走了另一条路子。他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题，用它来代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
事实上，罗巴切夫斯基的想法和做法有点象数学中的反证法，但是他直接假设了一个和欧氏平行公理相矛盾的结论，这样本身就已经出现了矛盾，这就等于证明了第五公设，就不需要再辛苦了，不需要再纠缠了。
遗憾的是，在罗巴切夫斯基极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在知觉上匪夷所思，所谓“在逻辑上毫无矛盾的命题”,
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要结论：
第一、五公设不能证明。
第二、在新的公理体系中展开了一连串推理，并形成了新的理论，这个理论被称为是“像欧氏几何一样是完善的，严密的几何学”——
罗氏几何学（狭义非欧几何）。
其实，罗巴切夫斯基几何学本身就是从矛盾开始的。
2.非欧几何偷换概念
真是荒唐，与欧氏几何完全矛盾的罗氏几何竟然用欧氏几何来解释，欧氏几何竟然支持了非欧几何。
罗氏几何的直观“模型”是拟球面，黎曼几何的直观“模型”是
“改进”的球面。可见非欧几何离不开欧氏几何。下面以欧氏空间中的测地三角形为例来看欧氏空间中的相应情况：
如果曲线C是曲面S上的一条分段光滑的闭曲线，它由若干段光滑曲线
……所组成，它的切向量在这些光滑曲线的交接处有“跳跃”。设在交接点 处的“跳跃”角为 （
可正可负，见图1）。
根据测地曲率的Liouville公式，对每一条曲线 都有
对上式两边绕曲线
积分一周后得到
再把它加起来，利用Green公式后就有
由于切线绕分段光滑曲线一周的转角为
这样，就得到了
因为曲线C是逐段光滑时的Gauss-Bonnet公式是
左端第一项相当于点曲率，第二项相当于线曲率，第三项相当于面曲率，三者之和为2π。
如果曲线C中的每条光滑曲线
是测地线，则
于是在由测地线所围成的单连通的测地多边形中，Gauss-Bonnet公式化为
因为
是测地多边形在角点处的外角，如记 是它的内角，则将 代入上式就得到了
所以当曲面S是平面时，因为K=0，于是就得到了常见多边形内角和的公式。特别地，在
时，得到：（测地）三角形内角之和等于
。
当S是常曲率曲面时，其上的一个测地三角形的三内角之和为
其中A是这个测地三角形的面积。
当S是正常曲率曲面（如球面，见图2
）时，
，所以测地三角形三内角之和大于 ;
当S是负常曲率曲面（如伪球面，见图2）
时，
，所以测地三角形三内角之和小于 。
由此可见，非欧几何是偷换了欧氏几何中的概念而形成的。所有问题都可以用欧氏几何的现成的理论和计算公式正确、合理、无矛盾的解决。
3．揭开黎曼几何中圆周率小于π的秘密
（1）.
黎曼几何的说法
黎曼几何被用到广义相对论中，请看其说法:
如图3中的一个球面（球内的空间不算），它就是一个弯曲的二维空间。在此“空间”中（球面上），圆周长与半径之比小于
，证明如下：
设
是球面上的任意点, 以 为圆心画一个圆, 从点
出发的“直线”（即球面上最“直”的线）就是大圆弧 ， ， ， 。以 为圆心，以为
半径的圆，就应是球面上与点 等 距离的点的轨迹，即圆 。因为弧 ，所以球面上圆周长与半径之比是
⑴
（2）.
质疑黎曼几何的说法
如图3，根据⑴在此“空间”—
球面上（球内的空间不算），线段 不属于此“空间”，即 无意义，所以 无意义。因此，其推导不能成立。
根据⑴可以看出推导过程中将弧
说成“直线”，再偷换成直线。由此可见，黎曼几何是从欧氏几何出发，偷换了概念而创立的。
４.结论
理论体系没有矛盾是该理论体系是真理的必要条件，不是充分条件。一个理论是否正确，不能用自身来检验，只有完全符合事实的理论才是真理，实践是检验真理的唯一标准。哪种几何适用于现实世界，不仅需要数学上的内在自恰性，而且还需要符合外部的客观世界。无矛盾的数学理论只能是数学模型及其解，并不一定是实际问题的解。其实，大家都知道数学中用列方程的方法解应用题时，最后需要对方程的解进行检验，把不符合题意的解舍去。
如果我们脱离开现实世界的约束，纯粹考虑数学上和逻辑上的自恰性，我们就可以改变任何一条公理，甚至用截然相反的陈述，建立数学上和逻辑上仍然可以自恰的理论体系。黎曼几何和罗巴切夫斯基几何就是这样。
前面提到，罗氏几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球面）上实现，黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。他们所做的这些“说明”一方面不能脱离欧氏几何而成为独立的理论体系——非欧几何，另一方面偷换了许多概念，比如将“曲面”偷换成“平面”，将“测地线”偷换成“直线”等。
所以，这种说明不能成立，而且非欧几何的第五公设及其推导出的有关结论和欧氏几何学相矛盾，但自然规律不可能有矛盾。我们的结论是：如果承认欧氏几何是真理，那么必须认为非欧几何是谬论。
参考文献：
⒈
苏步清
微分几何
人民教育出版社
1979年6月第1版
⒉
梅向明 黄敬之
微分几何
高等教育出版社
2003.12
⒊
费保俊
相对论与非欧几何 科学出版社
2005.5
4.
赵展岳
相对论引导
吉林人民出版社
1982年3月第1版
5.
马青平
相对论逻辑自洽性探疑
上海科学技术文献出版出版社
2004.
作者简介 ：杨世家
男
1963年2月出生，1983年7月毕业于西北师范大学数学系，高级讲师，1980年以来一直研究相对论，发现相对论的实验基础及数理逻辑有问题。
------------------------------------------------------------------------
周宪 杨老师：你的观点是错误的。欧几里得第五公设是可以证明的：小角里放不下大角。就这么一句话。 欧几里得第五公设等价于直线和平面的无限性。否定它，就必然使平面转化为半圆，直线转化为半圆弧。 在半球面上用刀垂直于半球底切三角形，得到的三角形的内角和都是小于180°的。这就是著名的彭加勒解释，也是非欧几何得以实现的曲面。 2月25日 19:52
|
