一、欧几里得几何与欧几里得空间
这里的欧氏几何描述二维平面的几何， 高维的欧氏几何叫欧几里得空间（三维欧氏几何叫做立体几何）。一句话概括，欧氏空间是欧氏几何在多维情况下的推广。
所以欧几里得几何又叫平面几何(plane geometry)（两要素：二维、曲率为0），它基于五条公设：
二、欧几里得几何与非欧几何
俄罗斯数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波约指出，第五条平行公理不一定在所有的几何情况下都成立，并非几何真理，也就是三角形内角和不一定为180。基于“三角形内角≠180°”的几何学叫做非欧几何。
以下图为例，在球上的三角形的内角和就大于180°，所以在球上的几何是非欧几何，叫做球面几何(spherical geometry)，它描述的是二维球面(2-dim surface)的几何，而不是包括球内部的球体(ball, solid sphere)。
三、第五公理/平行公理
第五公理为：
 它也可以等价为：
如果将公设改为“可引最少两条平行线”引申的几何为罗氏几何（双曲几何）；
如果将公设改为“一条平行线也不能引”引申的几何为黎曼几何（椭圆几何）。
这第五公理的三个版本不能说都错或者都对，只是需要一定条件。如果（曲面的）曲率=0，原公理成立；曲率＜0，双曲几何的平行公理成立；曲率＞0，椭圆几何的平行公理成立。
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