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黎曼几何专题辩论赛（2） 主持人：在辩论赛（1）中，正方没有回答反方的提问，今天继续进行辩论。请正方发言。 正方：虽然我方没有回答反方的提问，但这并不能说明黎曼几何就是错误的。我方请反方给出辩论赛（1）中两个问题的答案，并提供黎曼几何是错误的证明。 主持人：请反方回答。 反方：首先回答第一个问题：1。完备的几何学不一致，错在那里？ 在《完备的几何学，必然不一致》[1]一文中，已证明完备的几何学是不一致的。到底错在那里呢？ 错就错在矛盾的公设上。以欧几里得几何、罗氏几何为例，欧几里得几何与罗氏几何唯一的不同点为第五公设。如果将2．4罗氏平行公理扩充给欧几里得几何公理系统，则可组成R公理系统。 因欧几里得几何可证定理：三角形内角之和为180度。根据数学证明充分条件命题的方法可证：“如果三角形内角之和为180度，则并非三角形内角之和小于180度”必成立。 则在R公理系统由命题演算[2] [3]分离规则可证定理：并非三角形内角之和小于180度。 又因在罗氏几何可证定理：三角形内角之和小于180度。则R公理系统不一致。 这里的不一致，唯一的原因是扩充2．4罗氏平行公理所产生的，因此，罗氏平行公理是错误之源。然而，罗氏几何相对于欧几里得几何是一致的，这说明欧几里得几何与罗氏几何唯一不同的两个第五公设，二者矛盾。 R公理系统的定理：“并非三角形内角之和小于180度（?s）”与定理：“三角形内角之和小于180度（s）”。二者自相矛盾，由数理逻辑命题演算真值表[2] [3]可得：若s为真，则?s必假，若s为假，则?s必真，两命题必然有一假，不可能都为真值。因此，欧几里得几何与罗氏几何必有一个理论是错误的。 黎曼几何（2．2 在辩论赛（1）[1]中已证：因欧几里得几何可证定理：三角形内角之和为180度。又有4．1定理可证“如果三角形内角之和为180度，则并非三角形内角之和大于180度”， r与?r在J系统均可证，根据命题演算真值表可得：二者必有一假。 欧几里得几何与黎曼几何必有一个理论是错误的。 如果欧几里得几何是正确的，则必然可得黎曼几何、罗氏几何都是错误的，而不是三个几何学都是正确的，更不是平面的曲率问题（因没有一个公设论述自己在哪个平面，并且绝对几何的4个公设在两个曲率不同的平面成立，使绝对几何的平面曲率既等于0又小于0，自相矛盾）。 这是证明黎曼几何是错误的理论，理由之一。 回答第二个问题：2。绝对几何学的平面曲率a=？ 在辩论赛（1）[4]中，我方已经证明：由罗氏几何学的平面是曲率小于0的曲面，其平面上每个点的曲率都小于0可得：绝对几何学的平面每个点的曲率都小于0。 因事实上任何一个几何平面的曲率不可能既等于0且小于0 （自相矛盾）。所以，绝对几何学的平面曲率只可能等于0或者小于0，只能二者取其一，这表明欧几里得几何学与罗氏几何学二者必有一假，不可能都正确，否则，绝对几何学的平面的曲率既等于0又小于0，自相矛盾，是不可能存在的事件。 这是证明非欧几何学是错误的理论，理由之二。 请问正方还有什么理由和证据能证明黎曼几何是正确的呢？ 主持人：请正方回答。 参考文献 [1] 《完备的几何学，必然不一致》，李子 [2] 胡作玄著，第三次数学危机，四川：四川人民出版社，1985，29-31 [3] 王雨田主编，现代逻辑科学导引，北京：中国人民大学出版社，1987，28-85 [4] 《第四次数学危机及其影响（7）--第四次数学危机与非欧几何学（3）》，李子 |
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