【课程】数学史与数学文化_专题四 几何学的发展回顾

2017-10-29  百眼通学习

 

  (本专题主要参考了陈省身著《九十初度说数学》上海科技教育出版社,2001)
  教学目标与教学指导:
  几何最早的有记录的开端可以追溯到古埃及、古印度和古巴比伦,其年代大约始于公元前3000年。因此,时至今日,几何学的发展已经经历了大约5000多年了。这漫长的发展过程,可以划分为哪几个阶段,各有何特点,是本专题所关注的主要内容。希望学员通过对这些内容的学习,更好地体会与理解数学发展的规律。

  一、欧几里得几何
  在专题二中我们介绍了欧几里得在公元前300年左右写了《几何原本》。《几何原本》汇集了大量前人积累的数学成果,是世间少有的鸿篇巨著,因此100多年前,人们也将几何学称为“欧几里得几何学”。它的主要结论有两个:
  (1)毕达哥拉斯定理 这条定理就是我们常说的勾股定理:设有一直角三角形,则长边的平方等于其它两边的平方和。由几何方面来说,如果我们在三边上各作一个正方形,那么两个小正方形的面积和就等于大正方形的面积。
  (2)三角形三内角之和等于180° 如果以弧度为单位,也可以说三角形三内角之和等于π。这本书受到重视,不单是为了学几何,主要还要学一种逻辑推理的方法。欧几里得从几个很明显的事实——公理——出发,用逻辑的方法推出几何的结论。在他列出的公理中,较有争议的是平行公理。平行公理原来是说:有两条直线被一直线所截,如果截角的和小于180°,那么这两条直线在充分延长后,必相交于一点。另一个简单的说法是:假使有一直线和线外一点,那么通过那个点就刚好只有一条直线和原来的直线平行,平行者就是这两条直线不相交。
  这个平行公理在所有公理之中是最不明显的,所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其他的公理去推得平行公理。这种努力延续了几百年,后来证明这是不可能的,于是有了非欧几何学的发现,这在人类思想史上是非常有意义的事实。这是西方数学和中国传统数学不同的地方。《九章算术》是中国古代最有名的数学书,一共九章,第九章谈的是所谓勾股。勾、股就是直角三角形中较短的两条边,一条叫做“勾”,另一条就叫做“股”,而最长的那条边便称为“弦”。刚才说过,勾股定理也就是毕达哥拉斯定理,所以它的发现,中国人也有份。但是在中国传统的几何学中,无法找到类似三角形三内角和等于180°的推论,这是中国传统数学中没有的结果。因此,比较国外数学的经验和中国古代数学的书,可以看到中国古代数学都偏于应用;讲得过分一点,甚至可以说中国古代数学没有纯粹数学,都是应用数学。这是中国古代科学的一个缺点,这个缺点到现在还存在。应用当然很重要,但是许多科学领域的基本发现都在于基础科学。比如,中国传统数学没有复数,传统的中国数学家觉得√-1是没有应用的。其实√-1重要极了。如果没有复数,就没有电学,就没有量子力学,就没有近代文明。有时候讲应用,眼光要放长远些。视线放得更远一些,也许它的应用会更大。

  二、非欧几何
  从三角形三内角之和等于180°这个结论,而有接下来的重要发展:
  (1)球面几何 我们所讨论的三角形,并不一定都要在平面上,也可以是一个球面三角形,在这种情形下,三角形三内角之和必然大于180°,并且有一个非常重要的公式:
     A+B+C-π= S/R2
S 是该球面三角形的面积,R 是球的半径,R2 则度量了球面的曲率,因此有“曲率”的观念跑到这样一个简单的公式里。这在数学或物理学上是一个重要发展,因为在爱因斯坦的相对论中,曲率 1/R2 代表一个场的力。所以几何度量和物理度量便完全一致了。
  (2)双曲型的非欧几何 在这种情形下,三角形三内角之和是小于180°的,即有如下的重要公式:
     A+B+C-π= -S/R2
此时 R 代表非欧几何的一个绝对的度量,换句话说,在双曲型非欧几何的“平面”上,它的曲率是负的,即曲率为 -1/R2。
  因此,在空间或者“平面”的曲率,可以是正的,像球面几何;也可以是负的,像双曲几何。而其相对应的三角形三内角和,也分别有大于或小于180°之情形,不再满足欧几里得的平行公理,因此它们也被称作“非欧几何”。
  非欧几何的发现有三个人同时进行。他们是匈牙利数学家玻利亚、德国数学家高斯和俄国数学家罗巴切夫斯基。但年轻的数学家玻利亚因为他的创见当时不被任何人理解,经不起这样的打击,从此一蹶不振。而高斯屈从于教会的势力,不敢勇敢地发表自己的发现。只有富有创新精神的罗巴切夫斯基在1826年2月11日,在喀山大学数学物理系会议上,宣读了他的开创性论文《平行线理论和几何学原理概论及证明》,向世界公开了自己的新观点,提出了罗巴切夫斯基公理,这一天公认为“非欧几何”的诞生日。他公然向人类几千年来确信不疑的欧氏几何挑战,在当时遭到了几乎所有数学家的讽刺,甚至校长的职务也被撤除。但是科学界对待罗巴切夫斯基的不公正评价并未摧毁他对新几何的信念,他不顾一切侮辱,坚持真理,他的理想终于得胜,被历史承认。三人中只有他被公认为“非欧几何之父”,这也是后人对他坚持真理的一种敬意。

  三、坐标几何
  欧几里得几何之后,第二个重要的发展是坐标几何。法国的哲学家、数学家笛卡儿在几何学研究中引进了坐标的概念,因此可用解析的方法来处理几何的问题。坐标就是说:假使在 X-Y 平面上有两个轴,即 X 轴和 Y 轴,那么一个点的两个坐标 x 和 y,就分别以两个相对应的度量来表示,因此有了解析几何,即可用解析的方法进行几何学的讨论。例如:
点→(x,y);
  直线 →ax+by+c=0 ;
  圆周 →(x-a) 2+(y-b) 2=r ,
  于是几何的问题便成为代数的问题。
  这样的发展不但使几何问题的处理容易些,而且更有其重大的意义:
  (1)解析化之后,可扩大所研究的图形的范围。除了直线的一次方程式,或圆周的二次方程式,还可以取任意的方程式 f(x,y)=0 , 讨论坐标 (x,y) 适合这方程的所有点的轨迹,因此许多用几何的方法很难处理的曲线,在解析化之后,都可从表示它的方程式中得到有关的几何性质。
  (2)研究的图形不再局限在二维的平面上,而可推广至高维空间。世界上的事情,如果只用二维的平面,往往不足以表示,而需要取更多的坐标。例如,我们所在的空间是三维的,有 x,y,z 三个度量;假使要用几何来表示物理的问题,那么三个度量之外,尚须加一个时间 t ,所以物理的空间就变成了四维空间;不但如此,假使有一点在三维空间运动,那么除了要用 (x,y,z)来表示点的位置外,还要用这三个坐标对时间的微商,即(dx/dt , dy/dt , dz/dt ),来表示它的速率。这样就构成了六维的空间。所以,种种情形都指示我们有必要考虑更高维的空间,来表示自然的现象。
  解析几何使几何学研究的范围大为拓广,而科学的发展就是要扩大研究的范围,了解更多的情形。笛卡儿的解析几何达到了这个目的,使几何学迈入一个新的阶段。

  四、群的概念
  第三个发展是群的概念,这是数学上一个基本的结构。数学总是要运算,加、减、乘、除。研究几何的话,把一个东西从这个位置移动到其他的位置,也是个运算,这样的运算也称为运动。它有一个特别的性质,也就是说:要把一个物体从甲地移到乙地,再移到丙地,亦可直接把物体从甲地移到丙地,即两个运动的结果,可经由一次运动来达成;具有这个特殊性质的,便称为一个群,几何学研究的对象,应是经运动群变换后不变的几何性质。这个观念立刻便有了重要的发展。
  有时我们还想讨论比运动群更大的群,看是不是有些性质不但在运动群下不变,而且在更大的群之下也不变。历史上最主要的例子是投影,设有两条直线在空间相交,从一点出发对它们的投影被一新平面所截,则所得之两直线仍旧相交,像这种“直线相交”的几何性质,经过一种比运动还广的投影之后,所得的图形仍具有如此的几何性质,即在投影下不变。这也有许多应用,如艺术家画画,讲究透视,远近合乎几何的条件。
  研究几何性质在投影群变换之下不变的是投影几何。投影几何的发展,把几何的观念推广了,不只是有普通的欧几里得几何讨论经运动后不变的几何性质,也可以在投影几何中讨论经投影后仍是不变的性质。有许多经运动后不变的性质,在投影变换后是变了的,像距离、角度,但还有些更重要的性质在诸如投影群之类更大的群下是不变的。这些性质能经过投影群不变,在几何上自有其重要的意义。
  在几何学的发展之中,有许许多多不同的几何学,像欧几里得几何学、投影几何学……及其他种种几何学,自然就要有一个人把它综合集结起来,他就是德国的数学家克莱因。他22岁的时候(1872年)前往德国小城埃尔兰根的一所大学任教,依据德国的习惯,新教授上任必须做一次公开讲演,而他讲演的内容——“埃尔兰根纲领”(其要点是已给一个集合 ∑ 和作用于 ∑ 的一个变换群 G,在 G 作用下的不变性质和不变量称为隶属于 G 的几何学),就是这个新几何学。克莱因把几何学建立在群的观念上:一个空间有一个变换群,允许把空间的图形从这个位置移到另一个位置;因此有了一个群之后,便有一种几何,研究经过这个变换群变换之后保持不变的所有图形的几何性质。这个群可以是欧几里得运动群,也可以是投影变换群,或者其他种种的群,因为群的选择不同,也就得到许多种不同的几何学,其中也包括非欧几何学。按照克莱因的观点,只要在空间中有一个所谓的二次超曲面,非欧几何学便讨论在所有的投影变换下,使这个二次超曲面不变的性质。例如,在平面上有一个圆周,非欧几何就是要讨论在投影变换群下圆周仍不改变的性质。所以非欧几何就变成研究圆内点所构成的空间的性质,也就是在双曲平面上进行讨论。因此,按照克莱因的观点,非欧几何学就变得极容易处理。

  五、几何局部化
  黎曼所创立的几何把几何局部化,可以说是几何学的第四个发展,这是笛卡尔坐标几何的自然推广。在笛卡尔坐标系中,如果我们取 m 维的空间,一个点就可以用 m 个坐标来表示,而此点到原点的距离的平方,是坐标的一个二次式。而黎曼不但用坐标,他还用坐标的微分,于是便把笛卡尔几何局部化,因此黎曼几何可以说是一个局部化的几何。黎曼几何主要建构在弧长 s 上,弧长微分 ds 的平方等于坐标的一个二次微分式;既然有了ds ,便可计算两点所连接的曲线的长度,也就是弧长,所以用弧长即可建立一种几何学。“测地线”是指在两点间使弧长最短的那条曲线,它是平面上直线的推广,此外还可以有面积及其他种种概念。
  黎曼几何在二维的情形最初是高斯发展的。他在1827年写了一本差不多50页的小册子,研究在二维即曲面的情形及在这样的 ds2 下,所能够发展的几何性质。他的目的是为了应用,因为当时的德国政府要他主持一项测量工作,为了给这项测量工作一个理论基础,高斯便写下了这篇在微分几何上最重要的论文,微分几何自此诞生。以前把微积分用于几何上的问题,只能说是微积分在几何学上的应用,在高斯这篇文章之后,微分几何便成了一门独立的学问,就是从 ds2 得到一切的几何性质。
  1854年,黎曼在为取得大学教授资格的公开演讲上,发表了关于黎曼几何的第一篇论文。黎曼几何并不像我们所谈的欧儿里得几何,或者克莱因的埃尔兰根纲领几何,或者投影几何,这些几何都需要整个的空间,而在黎曼几何的情形下,我们只需要空间的一部分。因为只要 ds2 有意义,我们不需要知道全部的空间,便可度量弧长、面积、角度等几何性质,也就是说,在这样的一个小块里,便可发展全部的几何性质。这是黎曼几何革命性的观念,使几何局部化。这和物理上的场论是完全符合的。
  真正使黎曼几何受到重视的是爱因斯坦的广义相对论。大致说起来,爱因斯坦的广义相对论是要把物理几何化,也就是说把物理的性质变为几何的性质。因此黎曼几何就成为物理学家一定要学的一门数学。黎曼空间一样有曲率的概念,只是因为黎曼空间是高维的,所以它的曲率概念就变得相当复杂。在爱因斯坦广义相对论的基本公式里,大致说起来,物理的力是一种曲率;数学家讲曲率和物理学家讲力其实是同一个概念。

  六、几何整体化
  黎曼几何把几何局部化,但我们不能永远只在一个小区域里面,所以局部化之后又要整体化,又要把它扩充到全空间。几何整体化可说是几何学的第五个发展。而在这个整体化的扩充中,最要紧的就是拓扑学,即俞大维先生说的“橡皮几何学”。只要我们不把一个图形扯破,那么就有些几何性质虽经过放大、缩小……等很大的变换,也不会改变,例如亏格(研究电磁学的重要基础)这个性质。比方说,我们在一个二次的曲面上挖两个洞,那么它的亏格就等于2,或者像美国的甜甜圈只有一个洞,亏格就是1,即亏格等于洞的个数。把曲面放大缩小之后亏格这个数目仍旧不变,这是拓扑不变式的一个例子,另外还有一个例子是关于结(研究 DNA 结构的重要基础),例如三维空间中一条封闭的曲线,没有办法把它解开成一圆周,即所谓结。
  大家觉得微分几何应该是很有用的,因为在物理学发展之中,电磁学对人类日常生活是最有影响的;而在遗传工程及其他方面,DNA 的结构也是生物科学对人类生活最有影响的一门学问。而微分几何就是研究这两门学问的数学基础。这让我们联想到一位有名的理论物理学家维格纳所写的一篇文章The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences,可译作“为什么数学会有用?”。光玩玩亏格、结,竟也能找到有用的数学性质,提供了很好的应用,他觉得很不可思议。在这篇文章的开头,他举了一个更简单的例子:有两个中学同学,毕业后各奔前程,若干年后,两人再度会面,甲问乙近几年在研究什么?乙说他在研究人口问题,甲便欣赏了一下乙的论文,发现论文里头总有个π。我们都知道π是圆周率,怎么会和人口问题发生关系?这也是一个最粗浅的例子,告诉我们:基本的发现,有时候不一定要求立刻就有应用,很可能结果会有更大的应用。
  谈到微分几何,人们经常会想到陈省身先生,会提到杨振宁先生赠陈省身先生的一首诗:
  天衣岂无缝,匠心剪接成。
  浑然归一体。广邃妙绝伦。
  造化爱几何,四力纤维能。
  千古寸心事,欧高黎嘉陈。
  诗中的“四力”指引力、电磁力、弱力和强力。这四种力的能都是规范场,规范场论的数学基础则是纤维丛的联络。杨先生将陈省身和欧几里得、高斯、黎曼、嘉当并称。陈省身和匈牙利数学家埃尔德什共同获得了1984年度的沃尔夫奖,获奖证书上写道:“此奖授予陈省身,因为他在整体微分几何上的卓越成就,其影响遍及整个数学”。这也是我们中华民族的骄傲。

  讨论与思考:
  1、中国古代数学的主要缺陷是什么?
  2、埃尔兰根纲领的要点是什么?
  3、几何学的发展大致经历了哪几个阶段?

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