古希腊大数学家欧几里德所的《几何原本》可以说是世界上最著名、流传
在鲸鱼的几何里会出现一些令我们惊讶的事物,但它们完全不会让鲸鱼吃 古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中有五条公理。这五条公里中有一条公理与众不同,远比其他的公理复杂,这就是著名的平行公理。正是数学家们对这一公理的怀疑,产生了著名的黎曼几何。 平行公理:如果一条线段与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两直角和,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角和的一侧相交。 19 世纪上半叶,有三位数学家分别独立地、大胆地提出对平行公理的设想: 这三位革命者中的第一个是最负盛名的数学家高斯,他在19 世纪初开始试 非欧几何的第二位发现者是波尔约。波尔约的老爹是高斯学生时代的密友 但他的儿子没有理会他的劝告,最终写下了一篇24 页的论文《宇宙中的绝 实践证明,高斯招数的威力是巨大的。不但表明这些结果高斯已经尽知,而 因为小波尔约放弃,这让非欧几何的大部分功绩归功于第三位发现者。他就是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。他最先在一份默默无闻的俄国杂志上发表了他的非欧几何文章;与小波尔约不同的是,他还继续撰写有关非欧几何的论文和书籍,最后于1837 年成功地在《克雷尔杂志》上发表了一篇论文。 虽然罗巴切夫斯基被人认为是俄罗斯第一流的伟大数学家之一,但令人遗憾的是,他没能在他有生之年得到他应该得到的赞扬。在俄罗斯,他发明的几何就叫作罗巴切夫斯基几何;西方数学家则更为贴切地称之为双曲线几何。确切地说,什么是双曲线几何或罗巴切夫斯基几何?考虑它的最佳方法是先忘记有关平行公理与欧几里得的一切。尤其必须忘记的是你从小到大就养成了的偏见,即欧式几何是物质世界“自然而然”产生的几何。 双曲线几何在人工雕凿方面并不比欧式几何多。令人吃惊的是,几个世纪以来人们就已经知道双曲线几何之外的另一种非欧几何了,只不过人们从来没有从这个角度来看待它。这就是球面几何。在一个球(例如地球)的表面上,三角形的内角和大于180 度。长方形不存在,但直角三角形是有的。记住地球的曲率!例如,可以画出一个有三个直角的三角形:从北极开始,沿直线画到赤道,然后沿赤道向东或向西绕过四分之一个地球,最后向北回归北极。这样你就会描出一个有三个90 度角的三角形。球面几何中的曲率是正值。换言之,开始时平行的直线(例如在赤道附近的经线)间的距离会越来越小,而且它们最后在南极与北极会聚。过去没有人把球面几何看作有别于欧几里得几何的一种几何,个中原因很简单:我们可以把一个球体看成是镶嵌在欧几里得三维空间中的形体,因此它的“非欧性质”并非显而易见。但不妨让我们设想,除了球面的范围之外你无法感觉到第三维。例如,或许可以把你想象成一只生活在一颗没有海洋的小行星上的蚂蚁,所以你想去哪里都可以。你完全没有空间的概念,没有地下的概念:你知道的一切就是你的球面世界的表面。这个世界的曲率是正值,那里的几何也不是欧几里得型的。我们可以称这种几何为蚂蚁几何。 我们现在可以看到,世界上并非只有一个“自然”的几何,而是存在着形形色色的几何,它们有着不同的曲率:这些几何从蚂蚁几何(球面几何),到人类几何(欧式几何),再到鲸鱼几何(双曲线几何)。但故事还没结束。这些只不过是具有不变曲率的几何。我们也可以想象那些曲率随地点改变的几何。它们可以是二维、三维甚至更高维的几何。高斯(或许受到他未曾发表的双曲线几何的影响)是第一个理解二维空间中变化曲率概念的数学家,而他的学生黎曼于1854 年将这一概念推广到了更高维的情况。就这样,他们师徒二人为20 世纪的一项划时代的发现做出了前期准备:爱因斯坦的广义相对论,这一理论假设我们的四维时空具有各处不同的曲率。如果没有罗巴切夫斯基、波尔约、高斯和黎曼,爱因斯坦将永远无法写下他的理论中的方程。 |
|
来自: 恋上咸鸭蛋 > 《Mathematic》