理解材料力学：能量原理 & 破解能量耦合机制的莫尔定理

材料力学——理解物质力学肌理的第一步。

让知识内化，成为你头脑的一部分！

本专栏将和您一起，抓住核心思想，提炼学科精华，重构知识体系，用生动极简的语言，极速理解理论力学学科精要，轻松掌握学科应用。

上节回顾

纯弯曲状态，即“只受弯矩不受剪力的状态”。

这种状态，就好像有许多根小梁搭在一起，上面的梁被压缩，下面的梁被拉伸，中间不拉不压的小梁，称为“中性层”。

所以各处微元只受到X方向的“正应力”，弯曲内侧受到压应力，外侧为拉应力。

对于悬臂梁来说，所有微元的应变都有其两侧的微元一致协调，惟有根部的微元，它只有单侧的相邻微元帮助它协调变形，所以伽利略说——

悬臂梁受弯矩，最危险区域集中在根部。

另一种情况是剪力弯曲，剪力引起切应力分布：

对于矩形截面梁，切应力沿高度按抛物线规律分布，微元的切应力大小的本质代表着此处微元在抗剪切过程中所承担的任务多少。

切应力会像水流一样，把剪切力非常科学地分布在截面整体中，这样自动形成的是“熵值最小的状态”，这就是材料整体的智慧。

本节看点

• 能量原理究竟为什么重要
• 四种基本变形的统一公式
• 能量耦合机理：为什么叠加原理可行
• 莫尔定理——耦合能量的表达
• 莫尔定理实战思路

能量原理究竟为什么重要

前面我们分别从“微观的应力应变”（1~4节）与“宏观的力与变形”（5~8节）两大部分来理解材料力学，其实还有一个非常重要的部分——“能量原理”。

能量原理，就是从“功与能的角度”来思考问题，在其它力学学科甚至在许多其它科学中，也都有能量原理的应用。

能量原理，在每一个学科中，都是偏后学习的内容，实际上，从学科的历史发展来看，也都是偏后期才出现。科学家一般是先分析“力与变形之间的关系”，后想到“力与变形共同的结果——能量”。

能量原理虽然不像力分析那么直观形象，但能量原理的应用非常之广泛与强大，这是因为它将赋予物理现象“统一的方程形式”，并且“闭环”地考虑了整体机理问题，因此，能量原理在“计算力学”以及“有限元分析”中大放异彩。

四种基本变形的统一公式

回顾一下材料力学中杆件的四种基本变形：

• 拉压
• 扭转
• 纯弯曲
• 剪力弯曲

把弯曲分为两种状态，主要是因为它们的公式不同。

下面咱们分别看一眼四种基本变形的核心公式：“变形量与力的关系”——

拉压：杆件轴向变形量与轴向力的关系——

扭转：杆件周向变形量（转角）与周向力（扭矩）的关系——

纯弯曲：截面挠曲变形量（角度）与弯矩的关系——

剪力弯曲：剪力引起的错动变形与剪力的关系——

这里有点特殊多了一个k，称为剪切形状因数，与横截面的形状有关。

到这里，应该能看出来了，统一形式呼之欲出——

Δ——广义变形（长度/角度）

F——广义力（力/弯矩）

K——截面刚度，如抗拉截面刚度

就这么简单，用文字重写一下：

变形量 = 力 x（杆长 / 截面刚度）

注意，这里其实 l/K 是真正意义上的刚度，这里是为了后面对l积分，所以没有合并进去，稍微变下形：

变形量 = 力 x 刚度

这不就是弹簧的变形公式么！

是的，所有四种变形，其实都是线弹性的变形，本质上，就是“弹簧变形公式”。