之前学到的基本上都是横力弯曲，本节学习下剪力弯曲。对一根悬臂梁做简要加载，分析其横截面上的应力分布，将应用材料力学手动计算并且与软件分析结果做比较。主要涉及剪切应力，弯曲应力计算，以及莫尔应力圆应用。几何图形：长度为12in，横截面为1X1in。材料为上节的钢材，参数如下所示，端部固定约束，一段竖直向下加载800lb。网格大小为0.1in。
创建构造几何面 具体的方法在之前都已经提到过，并且给出图示。这里我们需要一个构造面与一条路径线，得到如下结果：
构造面距离固定端为2in，路径刚好是落在同一位置，上顶点位于顶面中心，下顶点位于地面中心，距离固定端同样是2in。
应力的后处理 我们首先根据材料力学简单分析一下横截面上的应力分布情况。由于存在着横向力加载，其横截面必然存在剪力与弯矩，因此悬臂梁是属于横力弯曲模型。在横截面上，剪力产生剪切应力，弯矩产生弯曲应力。因为在横截面上的剪切对于正应力影响极小（我们这里的跨高比大于10），因此单纯认为仅由弯矩产生弯曲应力。
根据材料力学，上层受到拉伸应力，下层受到压缩应力，图上表示为上正下负。中性轴处存在最大正应力，上下边层应力近乎相等，理论上为0（不考虑剪切对它的影响）。矩形横截面的上剪切应力呈抛物线分布，在中性轴上的剪切应力达到最大，上层与下层理论上最小，为0。矩形横截面上的最大剪切应力为平均剪切应力的1.5倍。
观察上述云图，横截面上的正应力分布与描述的特征一样的。上下数值相等，符号相反，正应力是线性分布的。
横截面剪切应力
观察上面两幅图，我们发现YZ平面的剪切应力相对于其正应力近乎为0，而与载荷方向一致的横截面（XY平面）其剪切应力有一定的数量。综合考虑，在XY平面上存在正应力（有正有负，有拉有压），存在剪切应力（有正有负），而垂直的方向（YZ平面）近乎没有剪切应力。有人说，你不考虑下Z方向的正应力么，不用考虑，几乎没有什么正应力，不信可以观察： 
上述文字旨在说明一个问题，XY平面上的应力近似为2D应力。我们从横截面的边线上沿着竖直方向取5个点。从上到下依次为0in，0.3in，0.5in，0.2in，1in。分别指定点为ABCDE。如下图所示：
中间的红色线条为路径线，我们到时候获取这里的数据做比较。因为横截面上的近似仅与中性轴距离有关。而边缘放置点，方便一些人简单选择。
手动计算横截面应力 由上的加载信息可得，其横截面上的弯矩大小为8000lb·in。横截面上的剪力为800lb，横截面的面积为1，横截面上对中性轴的惯性矩为1/12=0.0833，抗弯截面系数（对Z轴）为1/6。根据材料力学可知，中性轴上正应力达到最大为8000/（1/6）=48000psi。上下边达到极大值，理论上为48000。由此可以A、C、E三处正应力大小为48000psi、0psi、-48000psi。B点距离中性轴0.3in，D点距离中性轴0.2in。计算可得B处的正应力28801.152psi，D处得到正应力19200.768psi。要注意的是D点的应力为负，即反向。
矩形横截面上的剪切应力分布，首先中性轴上有最大值，理论值为平均剪切应力的1.5倍，得到τ=1.5（F/S）,1.5*(800/1)=1200psi。而上下点处在顶点位置，理论上为0。综合三处可得A、E为0psi，C为1200psi。剩下B、D两点需要根据公式计算，静矩如下图示：
可以计算B点静矩为0.08，D的静矩为0.105。计算B点剪切应力大小为768.03psi，计算D点剪切应力大小为1008.04psi。需要注意的是，这都采用了绝对数值，没有考虑方向，左图示需要考虑。画出上述五点的2D应力图示，得到如下结果：
上面五张图展示了XY平面内正应力与剪应力在指定的五个点大致情况，应该是看得懂的。因为选择的点处于2D应力，而三个主应力中，仅存在轴向一个。（三个应力主面相互垂直，另外两个面的正应力都近乎为0，可以自己尝试查看）。下面我们用莫尔应力圆来计算下，计算结果如下：
上面是简单生成的，应该是没啥问题，看了下对应的图，没啥问题。新手上路，很紧张。 学到这里就可以开始比对软件了，主要是比对最大主应力、最小主应力以及最大剪切应力。均可以自己探测或者使用路径获取，这里限于篇幅，我们不做过度的解读。仅看看最大剪切应力：
五个点的数值为：24373.42514psi，24373.42543psi，1080.662403psi，14228.66182psi，10200.07909psi。简单的对比，发现误差还是挺小的，可以自己计算误差百分比。
注：仅记录学习FEM的一个过程，表达的是个人观点与认识，欢迎一起讨论学习。有疑问可以私，本号没有留言功能，无法互动。本人小白一枚，正在努力的路上
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