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逆学微积分——续 这么顺着学，是无比茫然的！原因是数学上，前一章是后一章的基础，但是从工科的角度看，后一章才是前一章的因。因和果，在工科眼里，是倒过来的。 我们进入逆学微积分。 首先讲到人类认识、改造自然。人类认识、改造自然需要对某些物理量进行预测，以便生产活动。数学上，就是要得到一个函数。这样就可以进行预测判断。然而，要得到这个函数并不简单。并不是所有的物理量可以通过测量制表的方式建立。 举两个最简单的。 一、根据电容定义可以得到电容电压电流方程为：i=C*du/dt。 二、根据试验测试可以得到放射性物质的衰减方程为：dM/dt=-kM。 我们第一手拿到的，是一个物理量变化速度的方程，如果要得到物理量的函数，必须通过演算。而宇宙中存在大量这类关系，物理量的变化速度和自身相关，用数学表达式即：f(y',y)=0。在数学范畴里，这就是微分方程。一般我们在数学书上会看见如下定义：未知函数是一元函数，且含有未知函数的导数或微分的方程，称为常微分方程，简称为微分方程。 这可以说就是经济基础决定上层建筑，人民群众在生产实践活动中需要什么，我们的数学家就提供什么数学工具。我们要造电子设备、要有传感器、要有运放，u(t)、i(t)的微分方程。我们要检查身体，做x光，放射物质衰变m(t)的微分方程。我们要舒适的汽车，要好的弹簧和阻尼器，S(t)的微分方程。弹簧的简协运动，最后是一个二阶微分方程。我们听着MP3，开着汽车，出去玩。工程师要制造很多很多让我们过上舒适的日子的方面。所以微分方程是非常趁手的榔头扳手，给我们工程师大大提高了生产力！ 所以，在工科男眼里，微积分是这样的： 微分方程->积分->微分->导数->极限->函数->实数。 但是很可惜，我们学一元函数微积分是在大一，数学老师几乎不讲微积分的物理意义。而专业课在大三，专业课老师又不讲微积分。中间断档了整整一年。但如果我们一旦从物理角度去理解微积分的意义，去寻求每个数学定义的本源，每个数学表达式背后承载的物理变量，就能无比自然的理解微积分。 工科的套路是提出微分方程，然后求解，然后验证。提出一个微分方程固然牛逼，但能解出微分方程，没有扎实的数学功底和题海战术，是不可能的。要是能解出一个爱因斯坦的引力方程的一个解，那个炸药奖那是闭着眼的事了。 这里再讲两个概念。 一、定积分，定义上是加权和的极限，从数学本质上看，就是加权和。所以微积分，在这种意义上，是教大家加减法。 二、微分方程是很有意思的，从求解微分方程，我们可以知道弹簧震荡如何保持一直震荡下去，如何能慢慢震荡到停止。比方说，我们会发现当k=1时，一直震荡下去，k=1.2是临界阻尼，震荡减小，k=1.5是根本震荡不起来，k<1就发生震荡发散，共振产生。于是我们得出了结论：k决定了弹簧的震荡方式。这是彻头彻尾的唯心论！一个公式上的系数从来不决定一个物理变化，数学是我们认识和改造自然的工具，自然有它自己的运行法则！只能说，弹簧的震荡方式通过k表达，k相当于震荡方式这个物理现象在数学上的一个“代理”。 切记，学微积分，物理意义是因，数学表达是果！ 最后再讲一个无比奥妙的数，自然数e，第一章就给出e的来源和定义。其奥妙之处在导数中略窥一二，(e^x)'=e^x，这货对求导免疫！这个神属性在微分方程里是可以横着走的，大自然无数物理变量可以描述为导数和自身函数的线性关系，也就是一函数的求导和自己是等比例的，所以大量的方程最终逃不过e^x！而通过欧拉方程，又变成了sin和cos，所以sin和cos在物理界也是横着走。归根结底，sin也好，cos也好，e也好，最终是那个第一章给出的两个重要的极限中的一个。为什么这么一个不起眼的极限揭示了宇宙运行的究极奥义？！ |
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