 什么是微分方程？ 1 方程概念的起源 在数学中, 方程可以简单地理解为含有未知量的等式. 中国人对方程的研究有悠久的历史. 世界上最早的印刷本数学书、中国古代第一部数学专著《九章算术》成书于东汉初年 (约公元 1 世纪前后), 其“卷第八”的标题就是“方程”(图 1.1), 在历史上首次阐述了负数及其加减运算法则, 提出了求解线性方程组的新方法.
中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋期间伟大的数学家刘徽 (图 1.2) 在 263年给《九章算术》作注时, 给出了方程的定义： 程, 课程也. 群物总杂, 各列有数, 总言其实, 令每行为率. 二物者再程,三物者三程, 皆如物数程之. 并列为行, 故谓之方程.
这里所谓的“课程”指的是按不同物品的数量关系列出的式子. “实”就是式中的常数项. “令每行为率”就是由一个条件写出一行式子. “如物数程之”就是有几个未知数就必须列出几个等式. “方”的本义是并, 将两条船并起来, 船拴在一起, 谓之方. 故列出的一系列式子称“方程”. 这里的方程实际上就是现在人们说的一次方程组.
1859 年中国近代数学的先驱、清代数学史上的杰出代表李善兰 (图 1.3) 与 A.Wylie (1815—1887, 英国) 合作翻译出版了《代微积拾级》(Elements of AnalyticalGeometry, and of the Differential and Integral Calculus)(图 1.4), 其中将英文单词“Equation”创译成“方程”一词. 《代微积拾级》是在中国翻译出版的第一部微积分著作, 大批的中文数学名词被普遍接受并沿用至今.
等式中的符号“=”是R. Recorde (1510—1558, 英国) 在 1557 年出版的一本书《砺智石》(The Whetstone of Witte) 中建议使用的 (图 1.5). 直到 17 世纪末, 等号“=”才逐渐通用起来.
1591 年, F. Vieta (1540—1603, 法国, 图 1.6) 在《分析方法入门》(In ArtemAnalyticem Isagoge) 中第一次有意识地、系统地使用代数字母与符号. R. Descartes(1596—1650, 法国) 对其进行了改进, 建议用 a, b, c, · · · 表示已知数, 用 x, y,z, · · · 表示未知数. 这已成为今天的习惯. 2 微分方程的定义 方程可以根据其用到的未知数或未知函数及其运算加以分类.
代数方程是指由已知数与未知数通过有限次代数运算组合的方程, 包括整式方程、分式方程与根式方程. 整式方程也称作多项式方程, 可以依多项式的次数, 细分为一次方程、二次方程等. 分式方程是指分母中至少含有一个未知数的方程. 整式方程与分式方程统称为有理方程. 根式方程是指被开方式中至少含有一个未知数, 而根指数不含未知数的方程, 也称为无理方程. 有理方程与无理方程统称为代数方程. 超越方程是指包含超越函数的方程, 也称为非代数方程. 超越函数是“超出”代数函数范围的函数, 也就是说函数不能表示为自变量与常数之间有限次的加、减、乘、除和开方. 函数方程是指其中包含未知函数的方程. 微分方程是指其中包含未知函数导数 (或微分) 的函数方程. 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量, 这个方程叫作常微分方程 (Ordinary Differential Equation).如果一个方程中未知函数和多个变量有关, 而且出现未知函数关于多个变量的偏导数, 那么这种方程就是偏微分方程 (Partial Differential Equation). 由若干个常 (偏) 微分方程所构成的等式组就称为常 (偏) 微分方程组, 其中未知函数可以不止一个. 积分方程是指其中包含未知函数积分的函数方程.积分微分方程是指其中同时包含未知函数积分和导数 (或微分) 的函数方程. 依据 G. W. Leibniz (1646—1716, 德国) 的笔记本中的记述, 1675 年 11 月 11日他完成了一套完整的微分学.Leibniz 在他创办的《教师学报》 (Acta Eruditorum) 上于 1684 年发表第一篇微分学论文《一种求极大极小和切线的新方法》(Nova Methodus pro Maximiset Minimis), 定义了微分概念, 采用了微分符号 dx 和导数符号 dy/dx等. 1686 年他又在同一杂志上发表了积分学论文《深奥的几何与不可分量和无限的分析》, 讨论了微分与积分, 使用了积分符号 '拉长的s” (图 1.7).
Leibniz 是微积分的发明者之一、拓扑学的提出者、二进制的主要发现者, 被誉为“ 17 世纪的 Aristotle”. 他是最早接触中华文化的欧洲人之一, 并发现八卦可以用他的二进制来解释. 作为微积分的另一发明人, I. Newton (1643—1727, 英国) 在 1704 年著作中将导数用函数符号上方的点来表示. 例如函数 y 的导数就记作 y˙. 这种记法不能明确自变量, 常常用于表示对时间的导数. 另一种现今常见的记法是 J. Lagrange (1736—1813, 法国) 在 1797 年著作《解析函数理论》(Théorie des Fonctions Analytiques) 中率先使用的, 以在函数的右上角加上一短撇作为导数的记号. 例如函数 f(x) 的导数就记作 f′(x). 一个多元函数的一阶偏导数是它关于其中一个变量 (其他变量保持恒定) 的导数, 高阶偏导数是它关于若干个变量先后分别求导的结果, 本质上都是一元函数的导数. 偏导数的符号∂ 是 1786 年由 A. M. Legendre (1752—1833, 法国,图 1.8) 首先使用的.
18 世纪后期到 19 世纪初期法国数学界著名的三个人物：J. Lagrange, P.Laplace (1749—1827, 法国) 和 A. M. Legendre 被称为“三 L”. 作为巴黎和法国象征的埃菲尔铁塔 (图 1.9) 的第一平台上刻有为科学、技术、工程作出卓越贡献的 72 位法国数学家、科学家和工程师的名字, 其中就包括他们三个人.
本文选自保继光、李娅《微分方程的建模与计算》（科学出版社，2022.2） |
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