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求极值是数学中的重要问题之一。比较简单的极值问题有数列极值和函数极值，它们在中小学阶段的数学和物理课程中便有涉及，其中函数求极值更加复杂，普适的解决方法是求函数的导数或微分的零点。当然数列也是特殊的函数，数列和函数都是数集到数集的映射，自变量和因变量都是数。 然而数学和物理中还有一类重要的极值问题——泛函求极值。泛函是函数集到数集的映射，可以不太严谨地理解为其自变量是函数，因变量是数，因此泛函就是函数的函数，称为泛函数，简称泛函。泛函求极值的经典例子有速降线问题(摆线、等时线与最速下降曲线)、等周问题(给定一条确定长度的封闭曲线求其其所能围成的区域的最大面积以及面积最大时曲线形状)、极小曲面问题(最小曲面与皂液膜)、短程线(又叫测地线；好走捷径，万物跟人同此心态)问题(曲面上连接已知两点最短的曲线；事实上约束在曲面上的质点在不受其他外力时的运动轨迹就是测地线)等。 欧拉和拉格朗日发展出了求泛函极值的一般方法——变分法。变分法中最重要的概念就是变分(函数与泛函，微分与变分)，泛函的变分类似于函数的微分。可微函数在极值点的微分为零，类似的，通常泛函取极值时其变分也为零。根据这一思想，可以将泛函求极值的问题转化为微分方程的求解，实现这一转化需要用到的工具就是欧拉方程。 欧拉方程 设泛函 其中y是x的函数，其形式未知，但在积分上、下限处的值已知，即F是三个独立变量的已知函数，且具有连续二阶偏导数。求满足条件的所有函数y(x)中使泛函取得极小值的具体函数Y(x)。根据变分法理论，Y(x)是微分方程的解。上式就是只有一个独立变量且导数只涉及一阶导数时固定边界问题的欧拉方程(速降线问题就是这类问题)。欧拉方程还可以推广到其他变分问题，例如含有多个函数的情形、含有高阶导数的情形、含有多个独立变量的情形、条件变分问题(如等周问题和短程线问题)、可动边界问题等。物理中的很多问题都可以转化为泛函求极值问题，从而可用变分法求解，因此变分法在物理中的应用非常广泛。例如光学中的时间最短原理几乎是物理中最早的变分原理，通过该原理可以直接推导出光的折射和反射定律，这也表明光的折射与反射本质上遵循同一个简单的规律(光的反射跟折射遵循同一条定律)。经典力学中的拉格朗日最小作用量原理(好走捷径，万物跟人同此心态)及相应的欧拉-拉格朗日方程就是用变分理论的语言对力学的描述。当保守体系的动能为零时，拉格朗日最小作用量原理就退化为势能最小原理，用它可以推导出全球海洋表面的形状、悬链线的形状、物体内部和表面电荷的分布、分子的稳定构象和构型、不倒翁的稳定姿态、材料受力时的形态和应力分布等很多有意思的结论。此外变分原理也可以用于描述热力学体系。欧拉拉方程将泛函求极值的问题转化为微分方程的求解，但泛函极值也可以直接求解，著名的里兹法就是最常用的直接法。因此也可以通过欧拉方程将微分方程的求解问题转化为泛函求极值问题来求解，当然实现这种转化时也可以通过给微分方程赋予特定的物理意义，从而转化为可以用变分理论描述的物理问题来实现。当然对于复杂区域、复杂边界条件的变分问题的求解，有限元方法通常更加实用，因此这种方法在航空航天、土木工程等领域的结构力学问题中被广泛应用。
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