别走得太快，等一等数学心！（一类题的解析情景和意境）
等一等数学心 （之一） 解答数学题，考查着一个人的数学心是否能够与数学条件和结论进行有效的、含蓄的对话。经过反思洗礼的数学心，能够用修炼到的数学密语，与解析的思维策略进行有效的密谈，讲述出试题隐含着的解析思维故事。 看到一道有思维颜值的小试题，一颗数学心与数学的条件和结论，就有了如下有数学思维味的对话。试题再现： 如图，CA=CB，DB=DE，∠ACB ∠EDB=180°，P为AE中点，探究：PC与PD之间的位置关系。 你能立即就说出PC与PD的位置关系吗？数学心：当然能！ 因为提取这类试题的解析情景和思维意境密语，PC与PD相交的夹角是与原等线的夹角相等的。所以PC⊥PD。 你对这类试题有什么战略性的思考吗？ 这是什么情景特征的试题？ 有何规律性的思维意境？数学心：这是考场上常出现的一类探究问题。其最显著的情景特征是：有两组相等的共点线段；有一条中点线段的两端点“链接”着这两种不同的线段。不妨创造性地称它为“两组等线中点链”情景。 以此情景为探究背景的试题，在各地每年的中考场上，几乎总要演出几场。只不过很多时候是戴着等腰三角形、正方形、菱形等基本图形的面具出现，因为这些图形都有着含共点等线的特点。
那我们就接着进行战术性对话吧1、条件中的两组共于两点的等线想干什么？ 数学心：请把它们重新组合搭配，从而构造出全等三角形。2、先拿什么材料构造？ 数学心：给出的两组等线（基本图形）就是建筑全等三角形的“柱子”，请先把其中的一条变换到合适的新位置处。 3、变换哪一条线段？ 数学心：变换没有与“它线相交”的那一条“中端”线段。即要变换“中点线段”某一个端点处的一条线段。 4、谁来运输要变换位置的那一条线段？ 数学心：已经派中点这个高级的吊车来调换了。且它已经到现场了？ 5、吊车在哪儿？
数学心:吊车就是链接着两种等线的那条“中点线段”。 6、它跨越在哪儿想干什么？ 数学心：数学人都知道，它是搭建“平等8字”全等三角形的搬运机械，它能把“中点线段”一个端点处的一条线段“调换”到另一个端点处，使得能够出现新的等线组合，从而顺其自然地搭配出全等三角形.7、怎么顺其自然地搭配两组等线？ 数学心:如解析图1，构造“平8”，则AF=DE=DB, CA=CB不就是合情合理的搭配吗? 知道了！理解了！ 8、还要差一个等元素才能构造出全等三角形，怎么办？ 数学心:推导重新搭配后的两种等线夹角相等。 9、怎么推导? 数学心:不是已经给了关于角的条件吗，它们就是用来加工等角的材料。10、怎么加工？
数学心: 如解析图2所示，延长BD，使直线BD与直线AF交于M，（这两条直线相交了导角才快乐）因为AF∥DE，所以∠EDB=∠FMB,∵∠ACB ∠EDB=180°， 则利用图中的两个α β=180°的关系可得，∠ACB=∠AMB， 则根据产生的两个对顶角三角形或者共圆四边形，就能得到∠FAC=∠CBD. 想起来了，这是此类问题最常用的简便导角通用手法。只不过有较强的隐秘性。我一定认真反思，然后把这种导角的方法，存放到自己的“解题银行保险柜”中，以便随时快乐提取。而且给它一个优雅的名称：快乐直线导角法。11、思路已经到达目的地了吗？ 数学心:已经得到全等三角形，然后再得到等腰△CDF，且能导出P是底边DF的中点，所以，CP⊥DP. 你“完胜”了，再见！ 数学心:阳光还未拨散浓雾。不反思，怎能说完胜！不反思，下次遇到改头换面的“两组等线中点链”情景问题，其解析之路还是会走得摇摇晃晃，晕晕乎乎的。不反思，怎能说再见！ 那就认真反思吧！ 数学心： 一、探究问题，一定要有捕捉试题情景的意识和能力，这样，才能根据所捕捉到的情景特质 ，产生远见卓识的思维意境。没有情景，难以有见微知著的思维意境。 请用一双慧眼去一眼就认识出那些是“两组等线中点链”的试题吧！ 二、如果是含有“两组等线中点链”的情景，则应重视如下有序解析的思维策略和手法： 1、构造“平等8字”模型转移“中端”线段。 2、用“快乐直线导角法”推导等夹角。 这是解析难点！为防止出现“晕角”，应以不同的意境策划去练习导角，从而获得“抛弃”如上的添线手法（为什么？见后面的反思）。为了磨练胆大心细的数学心，应再找几道此类题聊一聊。例如，重庆近年的中考试题就是此类情景的试题。（但其参考答案叙述的导角方法没有“快乐直线导角法”优雅哟）。3、等线搭配出全等三角形。 4、得等腰三角形。 5、由“三线合一”得垂直。 这5大意境、步骤，就是解析两组等线中点链这一大片试题的通性通法。 看来，少刷十道题，才有时间多反思一道题，才能从容地应对那些虽改头换面，（例如重庆16年B卷，17年A卷），但本质情景仍然是或者包含着“两组等线中点链”的各种探究问题。 例如，给出原两条等线的夹角度数，就能探究出PC与PD的数量关系。这样的试题在中考场上经常表演。 例如，变为如下探究问题： 如果∠ACB=∠DEB=90°，其它条件不变，请探究PC与PD的数量关系。
别走得太快，等一等数学心。 一、碎片化的书本知识变现难在哪里？ 答： 说不明、理不清、想不到的“三不困惑”。 为什么会有“三不”之惑？ 答：少琢磨、少梳理、少创造的“三少陃习”。 杀毒软件：勤反思、慧提炼、有味道、有创造 用一种自觉的好习惯，再把此题做一遍。不过这次是用变换中点线段另一端点的线段AC的方法去做。说不定直接就产生了导角的对顶角三角形，则能更快乐地导出相等的夹角。 哇！这样真的更容易导出等角。 有规律吗？ 数学心：有。若两条“快乐直线”直接呈现出相交状态，导角会更快乐。这就是前面说“抛弃”的缘由。 再练一练： 在原解析图1中，让直线AF与直线BC相交，看看是否也能导出等夹角。然后通过反思去体悟怎样的“快乐直线”导角更快乐。 等一等数学心（之二）
刷题不能刷出精灵的思想方法，是对时间和精力的极大浪费。一、导出等夹角的秘笈。 在本文档（之一）中说到：为防治“晕角”，可用不同的思维意境策划去导出相等的夹角。导角法二：如解析图3，让直线AF与直线BC快乐相交，也能快乐地推导出∠FAC=∠CBD。 解析三：如解析图4那样构造“平8” 转移AC为EF时，两直线EF、CB直接快乐相交。则仍根据图示中的两个α β=180°，也能由对顶角三角形或四点共圆得到夹角∠FEB=∠CBD。 我们应反思到，如解析图2、3、4所示，只要让“那样”（？）的两条直线快乐相交，就能很快地导出相等的夹角。只不过“那样”的两直线有时是所在的线段直接相交，有时需延长线段才相交。所以，究竟转移那个端点的线段稍有考究性。数学心：如此这般导出等夹角的秘笈，应该存入“解题银行保险柜”里。 二、“等线中点链”情景的几道压轴考题。
文（之一）曾说到：没有情景，难以有见微知著的思维情景。捕捉到试题的问题情景特质，才能产生有远见卓识的思维意境。 下面让我们共同反思，一些同学在见到如下考题时，为什么会是“过尽千帆皆不是，斜晖脉脉水悠悠”的无助答题状态。 一、试题情景捕捉1、菱形是有共点等线的图形。2、中点线段DF链接着这两个菱形。 所以这是“两组等线中点链”情景的问题。二、请按如下通用的思维意境解析1、造“平等8字”模型转移一条中点线段端点处的线段。2、推导两种等线重新搭配后的夹角相等。3、由全等三角形推导出等腰三角形。4、由等腰三角形得到计算PG/PC的直角三角形 注意导有关角的计算。数学心：反思到一种属于自己的典型情景内幕真相，就能破解无数多的类似情景的更难考题。 观察与思考：1、两条线段的关系包含什么样的关系？2、是“两组等线中点链接”的情景吗？数学心：是它惠顾！ 因中点线段BE的端点B链接着BC=AC ，端点E链接着DA=DE。3、提取什么有序的解析思维策略和手法解答？
数学心：此类情景的试题解法一般有三大策略通罗马：①造“平8”。②取“两斜边中点”。③将两个直角三角形均沿共点的直角边各自翻拆。然后用同上的通性通法去解答。①造“平8”全等三角形；②导等夹角又得全等三角形；③推导出等腰三角形；④得两线的探究关系。 可提取“解题银行保险柜”中的“快乐直线导角法”导角吗？数学心：当然可那样导角。解析路径已入心头，该动笔头了。 1、 你能一眼就看出此重庆2016年中考B卷试题第（2）问的情景吗？ 2、若能看透中点线段BD的端点B链接着AB=AC，端点D链接着ED=EC，则辅助线会自动跑来吗？ 数学心：原来，辅助线的添加是如此容易！ 原来，没有清晰的情景，就难以产生顺畅的解析意境。原来，是患了“缺乏情景症”。3、能用“快乐直线导角法”去导夹角吗？ 数学心：那是值得信任的最简捷导角法。
请再次用总结提炼的通性通法去解析数学心还想说：坚持与解析进行认真、智慧的反思对话，则答题的思维策略和方法，就会从题中来！就会到题中去！
让我们再去练练下面的重庆2017年中考几何压轴题吧。 第（2）问的欢察与思考： 问题的情景捕捉到了吗？数学心：因为易得BD=AC=EC，则中点线段的两端点链接着同一种相等的线段。所以，是“中点链等线”的情景来袭。 又是常见的情景喜从天降 ，则有什么思维策略和意境？数学心：既然已知问题的情景真相，当然就能轻轻松松的用同样的通性通法去破解！1、构造“平等8字型”全等三角形转移线段，是可信任的思维起点。2、因中点线段链接的是同一种等线，则能立即就拿下一个等腰三角形。那么等角结论能跑掉吗？ 用如此积淀的妙杀思路，能产生构造“平等8字“两组等线中点链”型”的三个常用解析通道，那考场上的时间和考分会跑掉吗？ 这几道中考压轴题的解析思维已到达目的地了，请按有序的思维意境动笔吧。
最后，我还想再说：
别走得太快。等一等数学心！ 等一等两组等线中点链的情景和思维意境入心，入脑。从而用这些解析思维策略和手法，去看透、去解析那些关于线段中点的一大片几何题。
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