下面就利用微积分思想研究圆面积和周长的关系,下面就利用微积分思想研究圆面积和周长的关系,加深对微积分概念 的理解.的理解.我们知道,圆的面积 S 是半径 r 的函数,S(r)= πr 2 ； 的函数,函数,我们知道,即 圆的周长 l 也是半径 r 函数,即 l(r)= 2πr .
2 增大△ ,利用导数的定义,利用导数的定义,半径为 r 的圆的面积 S= πr ,若半径 r 增大△r,则面积 S 相应
的改变量△ 的改变量△S 就是以 r+△r 为半径的两个同心圆之间的圆环面积,△ 为半径的两个同心圆之间的圆环面积,
2 △ 即△S= π (r+△r)2- πr =2 πr △r+ π (△r)2 △ △
S = 2πr + π r r
当 r → 0 时,即：S′=2 πr ′ 的圆周长为底,它的几何意义是圆环的面积近似等于以半径为 r 的圆周长为底,以△r 为高的矩形 面积.面积.我们再利用积分法,计算由圆周长围成的圆的面积,以圆的圆心为坐标原点,我们再利用积分法,计算由圆周长围成的圆的面积,以圆的圆心为坐标原点,以圆 面所在平面为坐标平面,如图：将区间 面所在平面为坐标平面,如图：将区间[0,r]等分为 n 个小区间.等分为 个小区间.
S = lim (2πr + π r ) = 2πr r → 0 r r →0 lim
即：[0,,
r r 2r 2r 3r i 1 ir n 1 ] [ ,],[ ,] [ r ,r ] 每个小区间的长度为 r,] [ n n n n n n n n
i i 1 r r r = 以小区间的左端点的长为半径的圆的周长为底,以△r 为高作 以小区间的左端点的长为半径的圆的周长为底,n n n r r r 2r r i 1 r … ,2π r …,小 矩 形 ,则小 矩形 的面积 依 次为 2π 0 ,2π ,2π n n n n n n n n 1 r 2π r ,所有这些小矩形的面积的和 n n r r r i 1 r n 1 r S n = 2π 0 + 2π + + 2π r + + 2π r n n n n n n n
△r=
r2 = 2π 2 (0 + 1 + 2 + + n 1) n
= 2π
r 2 n(n 1) 2 n2 1 n
= πr 2 (1 ) S= lim S n = lim πr 2 (1 ) = πr 2
n → +∞ n → +∞
2 利用微积分定义可知,即视为圆的面积,利用微积分定义可知,n → +∞ 时,πr 即视为圆的面积,也就是说圆的面积即为
1 n
上的定积分.圆的周长 l=2 πx 在[0,r]上的定积分.,上的定积分 即：S =
∫ 02πxdx = πr
r
2
2 因此,而圆的周长在[0,上的定积分 因此,S = πr 对 r 的导数为 l=2 πr ,即 S′=2 πr ;而圆的周长在 ,r]上的定积分 ′ 而圆的周长在
为圆的面积,为圆的面积,即
∫ 02πxdx = πr
r
2
2 3 同理,同理,我们还可以利用微积分思想来研究球的表面积 S=4 πr 与球的体积 V= πr
4 3
之间的关系,事实上,V′=S=4 πr 2 之间的关系,事实上,′ 而
∫ 0S ( x)dx = 3 πr
r
4
3
=V
