|
从本篇开始数字信号处理课程的第二板块内容：数字滤波器。 本文是数字滤波器的概述，包括以下内容： 一 数字滤波器的概念 1. 数字滤波器 滤波器的作用是让有用信号尽可能无衰减地通过，对无用信号尽可能大的衰减。最早使用滤波器的是20世纪初（1917年）美国和德国的科学家发明的电感和电容组成的LC滤波器，其后，由电阻、电容、电感等原件组成的模拟滤波器广泛应用于各种信号处理系统中。模拟滤波器的优点在于处理速度快、带宽大，无需ADC和DAC。但缺点是稳定性和精度较差，可重复性不好，抗干扰能力差。自20世纪60年代起，由于计算机技术、集成工艺技术和材料工业的发展，数字滤波器开始大显身手。（江志红深入浅出数字信号处理，P218） 从广义上讲，将输入序列通过一定运算，变换成输出序列的离散时间系统（或者称为数字网络），都可以称之为数字滤波器。 从侠义上讲，数字滤波器是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的离散时间系统。 经典滤波器（选频滤波器、成形滤波器）是指，输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的滤波器来达到目的。 与之对应的是“现代滤波器”，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，这些滤波器可以按照随机信号内部的一些统计分布规律，从频带重叠的干扰中有效地提取信号。 本课程仅涉及到经典滤波器。 2. 数字滤波器与信号处理过程 对于大多数应用场合，待处理信号为模拟信号，数字滤波器的前端是模数转换，后端是数模转换。下图为数字滤波器在整个数字信号处理过程中的位置。 数字滤波器不是一个孤立的东西，而是整个信号处理中的一环。后面的学习中，要时刻牢记数字滤波器在整个信号处理过程中的位置和作用。 也就是说，我们还要经常用到模拟角频率和数字域频率的关系。下面给出二者的公式。忘记的同学去复习一下，下面的链接有详细讲解（这是学习数字信号处理的最基础的内容）。 复习内容链接： 数字信号处理系列（离散信号的频域分析之二）——数字域频率与模拟角频率 3. 数字滤波器的描述方法 我们学习过的离散时间系统的四种描述方法，总结如下： 其中的频率响应，因为一般情况下为复函数，又分为幅频特性和相频特性。另外，如果我们能接收负值的实函数来作为幅度特性的描述，相对应的相位称为相位函数，以示区分。如下图。 在《数字信号处理》中，我们更偏爱于用“幅度函数和相位函数”，而不是《信号与系统》中的“幅频响应和相频响应”。大家想一下矩形脉冲的DTFT就知道原因了。变换对如下： 幅度函数就是前面的sin/sin项，相位函数就是-(N-1)/2。而幅频响应是sin/sin的绝对值，那相频响应呢？表示起来就非常麻烦：当前面的sin/sin为正时，相频响应是-(N-1)/2；当sin/sin为负时，相频响应是Π-(N-1)/2。 所以，后面我们一般用“幅度函数”和“相位函数”来表示数字滤波器的频率特性。 二 数字滤波器的分类 可以从不同的角度，对数字滤波器进行不同的分类。 1. 从幅频特性的角度 这是大家最熟悉的一种分类方式，根据允许通过的频带和滤除的频带不同，分为：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。 似乎没什么好说的。但是，提醒大家一点，数字滤波器的频率响应函数，和所有的离散时间傅里叶变换（DTFT）一样，是以2Π为周期的。所以，以上四种滤波器的幅频特性图如下图： 是不是看上去好像是有多个通带？大家千万不要为之迷惑，多个通带是频谱函数的周期性造成的假象而已。 在后面的分析中，我们一般只给出[0,Π]范围内的频谱图，就是下面酱紫，顺眼多了吧 2. 从相频特性的角度 根据相位特性是否为线性的，分为： ☆ 非线性相位滤波器 ☆ 线性相位滤波器 如果相位函数是w的线性函数，就称为线性相位滤波器。关于这一点，后面再说。 3. 从单位冲激响应的角度 根据单位冲激响应 h(n)的长度是否有限长，分为： ☆有限长冲激响应（FIR）滤波器（FiniteImpulse Response Filter） ☆无限长冲激响应（IIR）滤波器（InfiniteImpulse Response Filter） 后面我们学习滤波器的设计、滤波器的结构，都是按照最后一种分类，将数字滤波器分为IIR和FIR，分别去学习。 以上是我们从三种不同的角度，对数字滤波器进行的分类。大家需要注意的是，不管是FIR、还是IIR，都有低通、高通、带通、带阻等。FIR，可以做到线性相位；但IIR，一般都是非线性相位的。 三 数字滤波器的技术指标 数字滤波器的技术指标，有多方面的，比如幅频响应的指标、时间特性指标、相位的线性度指标等。我们这里重点关注幅度响应的指标，并且以低通滤波器为例。 下图是幅频响应的容限图。 四个指标：通带截止频率、阻带截止频率、通带波纹和阻带波纹。 注意，通带截止频率，实际是指通带边沿频率，与常说的“截止频率”不同，常说的“截止频率”如不特别说明，一般指的是“3dB截止频率”。 通带截止频率和阻带截止频率之差称为过渡带。 图中，纵轴为幅频特性而不是上文中所说的幅度函数。因为实际应用中，经常用到的是以dB为单位，也就是将幅频特性取以10为底的对数，然后乘以20。这样就得到“通带波纹”和“阻带波纹”等价的另外一种描述形式，就是“通带内最大衰减”和“阻带内最小衰减”。 所以后面我们经常用这几个数值：通带截止频率、阻带截止频率、通带最大衰减、阻带最小衰减，作为滤波器的技术指标。 四 数字滤波器的实现步骤 可以归纳为以下五个步骤：
其中，step3：计算滤波器系数，是我们课程的重点。step2和step4，课程中也会涉及到。step5属于具体实现问题，我们课程不涉及。 在这里，我们来说一说step1。 任何的信号处理问题，包括数字滤波器问题，离不开对具体应用背景的深入了解和分析。不同应用背景，对信号处理算法和具体要求都大不相同。比如，同样是低通滤波器，在雷达信号中的要求和语音信号处理中的要求就完全不同，即使同样是语音信号处理，电话中的要求和高保真音响系统中的要求也差别甚大。 语音信号处理，更多的考虑滤波器的频域性能指标；而要处理淹没在噪声中的方波信号，就需要更多地考虑滤波器的阶跃响应特性。 在实际中，还需要考虑数字信号处理系统和其他系统的接口、数据率、实现方式（软件还是硬件）、成本等等。对应用背景分析越详细具体，对滤波器的要求越明确，设计出来的滤波器就越能满足应用要求。 下面我们给出一个实例，来看如何确定滤波器的技术指标（也就是我们前面所说的4个值：截止截止频率、阻带截止频率、通带最大衰减、阻带最小衰减）。
原始音乐信号和加干扰后信号的频谱分别如下图所示。
下面我们来分析确定滤波器的技术指标。 首先确定通带和阻带的边界频率。 因为干扰信号的频谱，位于2210Hz以上的频段，所以我们采用低通滤波器，确保2210Hz位于滤波器的阻带范围内。我们可以将阻带截止频率设置为2205Hz。 如果将过渡带确定为400Hz左右，我们不妨将通带截止频率设置为1800Hz，当然，过渡带越窄，滤波性能越好，但同时对系统性能的要求也越高，成本也越高。需要折衷考虑。 这两个数值确定下来之后，我们需要用到模拟频率到数字域频率的转换公式：2Πf/fs，才能转换为数字滤波器的通带和阻带截止频率。 然后，估计通带最大衰减和阻带最小衰减。考虑到人耳的敏感程度，我们可以将通带最大衰减定为1dB，阻带最小衰减定为60dB。 最终暂定的技术指标如下图所示。
在后面的学习中，我们就以这个滤波器为例，来看如何设计滤波器。 五 FIR滤波器与IIR滤波器的特点 前面说了，根据单位冲激响应h(n)的长度是有限长还是无限长，我们将数字滤波器分为FIR（有限长冲激响应）滤波器和IIR（无限长冲激响应）滤波器。 下面我们来归纳一下它们各自的特点。 1. FIR滤波器 特点1：系统的单位冲激响应h(n) 有限长。
我们观察FIR滤波器的差分方程，可以发现：该滤波器的功能，是把当前时刻和以前的N个点的输入值加权平均求得当前时刻的输出y(n)，这些加权值就是滤波器的系数。所以FIR滤波器称为滑动平均（MA-MovingAverage）滤波器。 对于FIR滤波器，我们把z的负幂的最高阶数字称为阶数，例如H(z)=1+0.5z^-1+0.3z^-2+3z^-3，则称为3阶FIR滤波器。 一般来说，h(n)长度为N的FIR滤波器，其对应的自变量n的取值范围是0≤n≤N-1，也就是说，h(n)的第一个非零点是从n=0开始，所以，N点长的FIR滤波器，阶数为N-1。 特点2：只有z=0的极点，没有原点之外的极点。 这个特点，观察系统函数H(z)很容易得出。 特点3：流图中可以没有反馈支路，称为非递归结构。 这个特点，我们在讲滤波器实现的时候还会再分析。注意，我说的是“可以没有”，而不是“一定没有”。原因后面会揭晓。 特点4：一定是稳定系统。 这个特点，也很容易得出。因为h(n)有限长，所以一定满足绝对可和，所以一定稳定。或者说，只有位于原点处的极点，所以极点一定在单位圆内，所以一定稳定。 2. IIR滤波器 特点1：系统的单位冲激响应h(n) 无限长。
观察IIR的差分方程和系统函数，与FIR截然不同。 一般来说，M<N，也就是说，系统函数H(z)为真分式。IIR滤波器的阶数，是指分母多项式z的负幂的最大数字，例如上图中，为N阶。 特点2：有 z 平面原点之外的极点。 特点3：流图中有反馈支路（回路），称为递归结构。 特点4：不一定是稳定系统。 可见，IIR与FIR在这四个方面，是截然不同的。 最后给一个题目，大家先思考一下，答案下期揭晓。
下一篇预告：FIR滤波器的设计。 |
|
|
。
