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时间：1779年6月某天 地点：法国某小镇 这是一个炎热的夏天，大地像是烤了火一般，无时不刻地在向外散发着多余的热量。沉闷不乐的约瑟夫·拉格朗日坐在靠近窗户的一张桌子前，死死地盯着一份摘抄过来的手稿，苦苦思考着什么。这时，门外走进一个穿的很厚的年轻人，提了一壶烧的很热的水，放在一张破旧的木板桌上。拉格朗日听见响声，转过头看，发现是一名负责通讯的学生。于是便谈了起来。 拉格朗日：寄给欧拉先生的信件可有回复？ 学生：仆人代写了回复，很短。欧拉先生身体情况不乐观，但依然在坚持研究问题。欧拉先生还称赞了您对等周问题的研究工作…… 拉格朗日：我知道了。你快把你那衣服脱掉，看着都热！ （拉格朗日转头向外，一个装着几盆花的吊篮正悬挂在一根粗麻线上，一只猫从上面跳下来，粗麻线与吊篮一同开始剧烈摇摆。片刻后，拉格朗日突然大呼“我发现了好东西！” 于是，转头对正要离开的学生大喊） 拉格朗日：明天下午进行一次讨论！就在西边那个大堂里！ 学生：好，我去安排！ 第二天，这一场突如其来的讨论会，只有几个人来聆听。拉格朗日没有进行任何的准备，因为他知道，这根本不需要准备。 拉格朗日：各位，我来向大家介绍一个全新的理念，这是我昨日想到的！如果这里有一个直杆（一边说一边举起手比划着），上面挂一个重物，那么这个重物静止的条件便是它的质心始终处于最低点！ （观众一阵闷笑） 观众A：您这“理念”怕不是“全新”的吧？ 拉格朗日：不要笑！我还没说完！很久之前，雅各布·伯努利提到过，受理想约束的系统保持静平衡的充要条件是系统的全部主动力对任意虚位移的虚功之和为零。就是这个式子（说着，在一块用油漆泼的黑板上写起来）  拉格朗日：之前我也曾讲到过，确定一个物体的位置可以不用像x、y、z这样的坐标来表示。就比如这个正在摇晃的灯（抬手指向一盏悬挂的电灯），就可以用它悬线与竖直方向的夹角确定灯泡的位置。 观众B：还得保证悬线的长度不变！ 拉格朗日：长度改变也没关系，把悬线的长度放进灯泡的“位置函数”中就好了。 观众A：您在前几次讨论会上就提到了这“位置函数”，怎么听起来总是怪怪的？您有没有给它起个好听的名字呢？ 拉格朗日：名字这件事，还真没想过，这些理论是我最近来整理出来的，还不成熟呢。这个“位置函数”，应该是一个比物体的位置坐标更广泛的概念，就叫…… 观众B：广义位置！ 拉格朗日：广义位置，听起来有点不数学，或许“广义坐标”更好点。这样，“广义坐标”的一阶时间变率正好就叫“广义速度”。对了，有一件事不得不提出来，位置矢量应该是咱们所说的“广义坐标”和时间的函数，表示成这个样子（在黑板上又写上一行） 拉格朗日：这里考虑了完整系统，我写的这个qα就是“广义坐标”，t是时间，s就是某一个力学系统自由度数目。咱们再说那灯泡啊（伸手指向电灯），这个灯泡受到的重力也可以不用牛顿的那mg，而改用“新的力”来表示，我把它叫做Qα，表示它的第α个广义坐标对应的“新的力”。这个“新的力”和牛顿的那个力的关系我也给各位讲过了，就是这样……  观众A：那么这个“新的力”Qα就叫“广义力”吧！ 拉格朗日：很好，就这样定了！牛顿讲过，物体平衡时，它受到的合力一定为0。那么这“广义力”是不是也有同样的结论呢？当然要有！咱们看一下最上面的那“虚功原理”，对位置矢量求一个变分，代入，就把这结论得出来了。  观众B：物体平衡时，广义力Qα=0！ 拉格朗日：嘿，别着急，这可有点问题啊！牛顿的“力”分为主动力和约束力，咱们只研究约束力的虚功始终为零的情况。Qα应该是主动力对应的广义力。 观众B：啊，对！那就是理想约束情况！ 拉格朗日：重力是有势力，物体在重力场中若想要静止，那么它的重力势能一定取极小值，并且始终取极小值。牛顿理论里面的有势力与势能的关系体现在力的大小等于势能函数梯度的相反数这一式子上，那么广义力与势能也一定有一个关系，我们来演算一下……（转身在黑板上写）  观众B：与牛顿的“力的大小等于势能函数梯度的相反数”的表达形式很相似！ 拉格朗日：当然是这样！这就能说明我刚才说的是对的——如果物体处于平衡状态，它的势能函数一定对于广义坐标取得极值。 观众C：可是这电灯的悬挂点一直在动啊！ 观众B：啊？您糊涂了吧？悬挂点在房子上，怎么会动！ 观众C：房子在地球上，地球在转啊！ 拉格朗日：哎呦，您还真有批判精神！确实，世界上没有绝对静止的物体，那个悬挂点是在移动的，但是在以你自己为参考系，它就是相对于你静止的点。 观众C：假如有个人站在地球外面看呢？那个广义力还是不是0呢？ 拉格朗日：这个问题问的好，我接下来就要讲！不知各位有没有阅读过让·勒朗·达朗贝尔的《动力学》一书，达朗贝尔在书中提出了一个重要的物理思想，叫做“化动为静”。 观众B：化动为静，思想境界很妙！ 拉格朗日：但是这思想对应的数学处理却是极其简单，只是把牛顿第二定律移了个项，弄出一个“惯性力”来，就是这个式子的第一项……  拉格朗日：我们把这个式子两边同乘上一个位置矢量的变分，求个和，最终结果一定还是0.  观众C：约束力 观众B：刚才说啦，理想约束下约束力的虚功始终为0！您咋不仔细听呢！ 拉格朗日：好！我就这样得出了一个崭新的理论——理想约束下，运动物体的每一瞬时，系统所受的主动力和惯性力对任意虚位移的虚功之和为0，即  观众B：就用您的大名称呼这个原理吧！叫拉格朗日原理！ 拉格朗日：名字不重要！况且还有人家达朗贝尔的先见呢！当然，咱们还可以把位置矢量的变分再代入进去，就得到这个  观众A：这还正好有了主动力和惯性力的广义力。 拉格朗日：对，给惯性力的广义力加上一个I来区分，就成了……  拉格朗日：于是我们就得到了主动力和惯性力的广义力之和为零！ 观众B：多么优美的表达式！ 观众C：您刚才说，我们在地球上看这个电灯，它静止时候势能取极值，这应该没问题。那么从您刚才推出的这个定理来看，在地球外面看这个电灯，势能就不会取极值了吧？或者势能还会有另外的表达式？ 拉格朗日：哎哟，您还真把我问住了。我没考虑过这个事情，不敢说…… 观众B：牛顿说了，力的大小等于势能函数梯度的相反数，既然前面的主动力可以这样表示，那后面的惯性力也可以这样表示喽？ 拉格朗日：你是说惯性力也有一个“势能”？ 观众C：听起来很别扭。 观众A：这两种力虽然都叫力，但是性质不一样啊！主动力是外界给予的，有势能就很正常，但是惯性力这东西不是其他物体给它施加的啊！从达朗贝尔的理论来看，完全是数学处理弄出来的“力”。 拉格朗日：这倒不是“完全”数学处理得出，你可以认为“惯性力”是由于物体的运动而产生的一种力。 观众B：惯性力是因物体运动而产生的，那这样讲的话，如果主动力有势能，惯性力就应该与…… 观众C：动能相关喽？ 拉格朗日：惯性力与动能相关？！你们听听，多滑稽！ （观众一阵闷笑） 观众A：那这样说“主动力有势能”好像也有点不对劲…… 拉格朗日：应该说“若主动力是有势力，则存在势能函数”。有势力总会与对应的势能函数呈现梯度相反数关系。 观众B：咦！您说的最后一句倒是有点意思了，有势力与势能函数有关，那么惯性力怕不是与动能函数有关吧？ 观众A：惯性力等于动能函数梯度的相反数？ 拉格朗日：您这猜想很大胆。要是不从牛顿的角度理解“力”呢？（沉思片刻）刚才已经说过了，广义力与势能函数之间有一个类似于“梯度关系”的表达式，广义力等于势能函数对广义坐标的偏微分的相反数。或许惯性力对应的广义力就会与动能有这样类似的关系…… （说着，拉格朗日一惊，忽然严肃起来） 拉格朗日：啊，这很有道理！我们现在就来试一试，动能是这样的…… 拉格朗日：如果将动能对广义坐标求个偏导数的话，就是…… 观众A：这个式子要是与惯性力的广义力的表达式相同就好了。但是，这看上去与咱们的愿望差的远啊…… 拉格朗日：哪有那么好的事情！要是都这么简单的话，这些理论早就有人搞出来喽！咱们想想这个式子该怎么办？惯性力的广义力里面有位置矢量的二阶微分，也就是加速度，但这式子里面有位置矢量的一阶微分，也就是速度…… 观众B：牛顿那记号害人，把那点改成…… （话音未落，拉格朗日突然一声惊呼） 拉格朗日：我看出来了！！！您说的太对了，有希望！你们看着！（旋即，在黑板上写下一行） 拉格朗日：这不就出现了位置矢量的一阶微分的形式了吗！ （众人苦笑不语） 观众A：您真是天才，但是这式子好像没什么新奇的啊！不过是把两项乘积的导数移了个项吗！ 拉格朗日：不不不！这个式子太重要了！看最后一项，这不正好是动能对广义坐标的偏导数的那一部分吗！ 观众B：啊？怎么看出来的？ 拉格朗日：全导数与偏导数交换顺序不变啊！你们看（说着，在黑板上写） 观众C：这看起来还挺有道理的，但是…… 拉格朗日：我知道你要说什么！这个表达式可不是乱用的，全导数与偏导数的顺序可不一定全都能交换。但是这个式子可以，它的证明太简单了，各位请看！ （观众掌声一片） 观众B：不愧是数学天才！ 拉格朗日：惯性力的广义力就大大地简化了！ 观众A：这是一个带着一个求和的式子，好像还是很复杂。 拉格朗日：这样的式子当然不行，没什么应用价值，要想办法接着化简。 观众B：或许还是个数学问题…… 拉格朗日：对，数学问题。括号里面那式子怎么弄呢？各位可有思路？ （现场沉默良久） 拉格朗日：咦？我们是怎么想到动能对广义坐标求偏导的？ 观众B：咱们看到了势能函数对广义坐标求了偏导，就跟主动力的广义力联系上了，于是我们又想到了惯性力的广义力可能与动能有关…… 观众C：动能里面含有广义速度，为啥不再对广义速度求偏导数呢？ 拉格朗日：说的对啊！看我这老糊涂！来，我们写一写，写出来就明显了。来，各位看好！ 观众B：还真是，非常相似，唯独偏导数那部分多了两个点。 拉格朗日：各位！真理得出来了！这个式子与上面那括号里面的式子完全相同！ 观众C：此话怎讲？ 观众A：“带点的”与“不带点的”相等！因为位置矢量仅仅是广义坐标和时间函数，从速度的表达式中就可以看出来，速度对广义速度的偏导数一定等于位置矢量对广义坐标的偏导数！ 拉格朗日：有道理！看，重大发现由此诞生！惯性力对应的广义力竟然可以写成如此整洁的式子！ 观众C：通过动能对广义量的偏导数来导出惯性力对应的广义力，实在是神来之笔！ 拉格朗日：哈！我都要被你夸到天上去了！这个式子又让我想起另一件事情，咱们刚才说到，当主动力是有势力的时候，主动力对应的广义力就可以写成势能函数对广义坐标偏导数的相反数形式。 观众B：还真是这样，又要有新发现了！移项过去看看吧。 拉格朗日：好，括号里面那式子或许还可以改一改，这样就与括号外的式子形式一致了…… 观众C：势能函数不显含广义速度，所以势能函数对广义速度的偏导数一定为0！还可以添一个势能函数对广义坐标的偏导数进去。 拉格朗日：非常好！就这么办！ 拉格朗日：那T-V写起来太繁琐了，换个字母，就用我Lagrange的L吧！我从未见过如此简洁的式子！ 观众A：咦！这个式子怎么这么眼熟呢？好像在哪里见过…… 观众B：前几天老师讲过伯努力的“最速落径”问题，与这个式子有很大关系！ 拉格朗日：对！没错！就是最速落径问题，咱们刚刚得到的式子正好对应于这个变分式！ 拉格朗日：Eureka！实在是大发现！莫培督是对的，真的存在一个“作用量”，其驻值决定了运动的真实路径！ （台下响起掌声，拉格朗日得意之时，身上竟感觉有些冷。正在怀疑自己是不是生病时，天空中忽然传来一阵惊雷声） 拉格朗日：嚯，不那么热了啊，看来是要下雨喽！ 观众A：好像已经下了很久了。 （拉格朗日抬头看了看时间，竟然已是傍晚，这才意识到讨论会开了一个下午） 拉格朗日：啊呀，大家快散会！我对不住大家，让大家坐了这么久。 观众B：怕是走不了啦，这雨有点大啊！（说着，跟随观众C走向窗户） 观众C：嘿，看啊！水上飘着一个人！是在游泳吧？ （两人大笑，拉格朗日走来，正准备看热闹，忽然大惊） 拉格朗日：什么游泳啊！怎么会有人在外面的小路上游泳！那是洪水！洪水来了！ （观众A已经跑到了外面，对屋内大喊） 观众A：你们还愣着干什么？快跑啊！ 敬（警）告 本文内容纯属虚构 请勿视为历史事实 本文作者系北京师范大学物理学系二年级本科生 指导教师：涂展春 |
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