2019高考100题之003(复合函数)

       分析：

       这是一道复合函数的问题，不过属于比较简单的复合，所以可以求导解决，但是还是那句话，用初等函数基本性质可以解决的，能不求导就别求导。

       在解决该类问题时要用到换元的方法将原函数写成两个简单的初等函数，然后要注意定义域以及单调性的问题。

       具体就是，对于复合函数y=f(g(x))，设t=g(x)，则y=f(t)。

       第一要注意，由x的取值范围得到的t的范围，必须使得f(t)有意义；

       第二，当x属于区间A，得到t属于区间B时，

       若t在x∈A上为增函数，y在t∈B上为增函数，则y在x∈A上为增函数;

       若t在x∈A上为增函数，y在t∈B上为减函数，则y在x∈A上为减函数;

       若t在x∈A上为减函数，y在t∈B为增函数，则y在x∈A上为减函数;

       若t在x∈A上为减函数，y在t∈B上为减函数，则y在x∈A上为增函数。

       上述结论用四个字概括 就是：

同增异减

       道理大家都懂，但是每次遇到这类问题，犯错误的同学还是不在少数。

       对于上题，当a≠0时，这是一个一次函数和一个幂函数y=√t的复合，然后再除以一个常数a-1，这个a-1是这道题最容易忽略的点。

       第(1)问显然定义域为(-∞,3/a]。

       第(2)问，显然a=0不符合题意；

       当a>0时，t=3-ax在(-∞,3/a]上为减函数，所以要符合题意，必须满足两个式子，a>1以及1≤3/a，解得1<a≤3;

       当a<0时，t=3-ax在(0,1]上恒大于零，且为增函数，而a-1<0，所以符合题意。

       综上，a的取值范围为(-∞,0)∪(1,3]。

       该题用到了分类讨论，高考试题的命制过程中，引入分类讨论思想是把一道试题增加难度的最好手段，大家做题的时候要考虑全面，不遗漏任何一个细节。