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问题：设 当日 T 的日期是 公元 y 年 m 月 d 日，求 T 是 星期几？ 为了方便，我们用 0 到 6 的整数表示星期，0 表示星期日，1 到 6 分别表示 星期一 到 星期六。 （注：以下解答只适用于格里高利历。） 设 T 是 星期 w，公元1年1月1日 的前一天是 Z₀，Z₀ 是 星期 w₀，T 距离 Z₀ 过了 S 天，于是有： w = (w₀ + S) mod 7 ① 其中，mod 为 (w₀ + S) 除以 7 的 余数。 而 S = D' + D 其中， D' 为 y 年 1 月 1 日 的前一天 Z 距离 Z₀ 的累积天数，D 为 T 在 y 年内的 累积天数。 显然，Z 距离 Z₀ 刚好是 过了 y - 1 年。考虑 一个平年有 365 天，再考虑闰年规定：
则 D’ = 365(y-1) + [(y-1)/4] - [(y-1)/100] + [(y-1)/400]， 其中 [x] 表示 取 x 的整数部分。 注：[x + 1/2] 就是对 x 四舍五入。 当 T 为 公元2019年1月1日 时，D = 1，D‘ = 737059，查日历知道 公元2019年1月1日 是星期二，即，w = 2 带入 ① 有： 2 = (w₀ + 737059 + 1) mod 7 = (w₀ + 737058 + 1 + 1) mod 7 = (w₀ + 105294 ×7 + 2) mod 7 = (w₀ + 2) mod 7 求得： w₀ = 0 而： (365(y-1)) mod 7 = (364(y-1) + (y-1)) mod 7 = (52×7(y-1) + (y-1)) mod 7 = (y-1) mod 7 所有最终 ① 简化为： w = ((y-1) + [(y-1)/4] - [(y-1)/100] + [(y-1)/400] + D) mod 7 ② 接下来，需要计算 年内 累积天数 D。考虑平年的情况，有： 设， m 月 1日前 累积超出天数 为 P(m) 则： D = P(m) + 28 × (m - 1) + d ④ 接下来，需要求 P(m)。考虑 2 月的特殊性，将 1 月 和 2 月 挪到 12 后面 变成 13 和 14 月，于是得到： 令， 对这些点，进行线性拟合： P(x) = ax + b 使用，最小二乘法， 有： 解方程的得到： 线性拟合图形如下： 由于 2.6 = 13/5，而 P(x) 需要是整数，于是令： P(x) = [13x/5 + b'] 尝试 b' = 0.4 ，将 x = 0 到 11 带入得到序列： 0, 3, 5, 8, 10, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 29 这和 (5) 完全一致，于是 b' = 0.4 有效，进而有： P(x) = [13 x / 5 + 0.4] = [13 (x + 4) / 5 - 13 × 4 / 5 + 0.4] = [13 (x + 4) / 5 - 10.4 + 0.4] = [13 (x + 4) / 5 - 10] 即， P(x) = [13 (x + 4) / 5] - 10 ⑥ 令， k = [(14 - m) / 12] 即，当 m 为 1, 2 月 时，k = 1，m 为其它月份时，k = 0； 又令， M = m + 12k； 即，当 m 为 1, 2 月时，M 为 13，14 月，m 为其它月份时，M = m； 于是，有： x + 4 = M + 1 于是 ⑥ 改写为： P(M) = [13 (M + 1) / 5] - 10 但这是 没有考虑 3月前累计天数的情况，根据 (3) 需要加上 3月前累计天数 3 ，于是： P(M) = [13 (M + 1) / 5] - 10 + 3 = [13 (M + 1) / 5] - 7 带入 ④ 得到： D = [13 (M + 1) / 5] - 7 + 28 × (m - 1) + d ④' 再 考虑 ② 式： w = ((y-1) + [(y-1)/4] - [(y-1)/100] + [(y-1)/400] + D) mod 7 由于 1, 2 月份 被计算为 13， 14 月，等于多算了一年，因此 需要再减去 1 年，于是，令： Y = y - k 将 ② 改写为： w = ((Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D) mod 7 ②' 分析对闰年的修正：
最终，将 ④' 带入 ②'’ 有： w = ((Y-1) + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] + [13 (M + 1) / 5] - 7 + 28 × (m - 1) + d) mod 7 最终得到，答案1： w = (Y + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] + [13 (M + 1) / 5] + d - 1) mod 7 ⑦ 上面在进行线性拟合时，也可以选取 (5) 的部分点进行拟合，例如，选取 y 值间距大于等于3 的点： 同样是最小二乘法，计算结果为： 考虑 a ≈ p / q， p = [q × 2.59 + 0.5]，筛选 p 较小，|q × 2.59 - p| 也较小 （小于 0.1）的情况，写成JavaScript代码如下： 运行上面的 JavaScript 得到： ['13/5', '31/12', '44/17', '57/22', '70/27'] 第一种情况 13/5 上面已经分析过了，现在考虑 第二种情况 31/12： 令： P(x) = [31x/12 + b'] 尝试让 b' = 1/2，将 x = 0 到 11 带入得到序列： 0, 3, 5, 8, 10, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 28 这和 (5) 相比 最后一项 28 偏小，于是尝试让 b'=2/3，将 x = 0 到 11 带入得到序列： 0, 3, 5, 8, 11, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 29 第 4 项 11 又偏大，于是令 b' = (1/2 + 2/3) / 2 = 7/12，将 x = 0 到 11 带入得到序列： 0, 3, 5, 8, 10, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 29 终于和 (5) 完全吻合，于是 b' = 7/12 有效，进而： P(x) = [31x / 12 + 7/12] = [31x / 12 + (7 + 2×12) / 12 - 2] = [31x / 12 + 31 / 12 - 2] = [31(x + 1) / 12] - 2 令 M' = m + 12k - 2，则 x + 1 = M'，再考虑 3月前的累积天数 3，则有： P(M') = [31M'/12] - 2 + 3 = [31M'/12] + 1 于是： D = [31M'/12] + 1 + 28 × (m - 1) + d 带入 ②'’ 有： w = ((Y-1) + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] + [31M'/12] + 1 + 28 × (m - 1) + d) mod 7 最终得到，答案2： w = (Y + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] + [31M'/12] + d) mod 7 ⑦' 考虑 ⑦ 式： w = (Y + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] + [13 (M + 1) / 5] + d - 1) mod 7 设 Y 的世纪 为 c，Y 后两位为 Y' = Y mod 100； 在一个世纪的 100 年里，星期偏移为： (100 + [99 / 4]) mod 7 = 5 如果 世纪最后一年 是 闰年，则 星期偏移 还要 加 1，即： 6 根据上面的计算结果，由于 公元1年1月1日 的前一天是 星期 日，故 公元1年1月1日 是星期 1，进而 公元1年3月1日 是星期 4。 从 公元1年3月1日 开始 每个 世纪元年的 3月1日 星期为：
观察发现 世纪元年的 3月1日 星期序列为 每 4 年循环一次： 4, 2, 0, 5 又，因为 5 mod 7 = 5 mod 7 - 7 mod 7 = (5 - 7) mod 7 = - 2 mod 7， 循环序列可改写为： 4, 2, 0, - 2 它是一个等差数列，令 C = c - 1，则有： D' = 4 - 2(C mod 4) 但是这是 每个世纪元年的 3月1日 的 星期偏差，我们要的是 每个世纪元年的 1月1日 前一天 的 星期偏差，于是 需要减去 3(1月1日 到 3月1日 的星期偏差) + 1(1月1日前一天到1月1日的星期偏差) = 4，即， D' = 4 - 2(C mod 4) - 4 = - 2(C mod 4) 又 C mod 4 = C - 4[C/4]，故： D' = - 2(C - 4[C/4]) = 8[C/4] - 2C 由于我们从 3月1日 返回 1月1日 时 移入的 星期偏差 是平年的情况，因此 D'' 作为 每个世纪元年的 1月1日 前一天 的 星期偏差 已经计算了 世纪闰年的情况，于是： Y + [Y/4] - [Y/100] + [Y/400] = D'' + Y' + [Y'/4] = 8[C/4] - 2C + Y' + [Y'/4] 进而有： w = (8[C/4] - 2C + Y' + [Y'/4] + [13 (M + 1) / 5] + d - 1) mod 7 = (7[C/4] + [C/4] - 2C + Y' + [Y'/4] + [13 (M + 1) / 5] + d - 1) mod 7 即， w = ([C/4] - 2C + Y' + [Y'/4] + [13 (M + 1) / 5] + d - 1) mod 7 ⑧ 为了方便计算，改写为： w = ([C/4] - 2C + Y' + [Y'/4] + [26 (M + 1) / 10] + d - 1) mod 7 这就是 蔡勒（Zeller）公式。 答案3：设 当日 T 的日期是 公元 y 年 m 月 d 日，则 T 的 星期数为： w = ([C/4] - 2C + Y' + [Y'/4] + [26 (M + 1) / 10] + d - 1) mod 7 其中，[] 为求整数运算，mod 为取余数运算，C 为 Y 世纪 - 1，Y' 为Y最后两位数；当 m = 1， 2 月份时，Y = y - 1, M = m + 12，当 m 为其它月份时，Y = y， M = m。 |
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