一题多变07——四边形中的“将军饮马”（线段和最小值问题）

例如图1，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，P是对角线AC上的动点，则点P到B、E的距离之和PB+PE的最小值是______。

分析：求线段之和的最小值，自然想到“两点之间，线段最短”，但由于PB+PE是一条“折回”的折线和，利用PB+PE>BE显然是不合理的，因此，设法将某段折线PB或PE变换到另一个新位置，使得折回的折线变为“折去”的折线，问题便可以迎刃而解。

因为四边形ABCD是正方形，所以B、D关于AC轴对称，因此，连接PD，则PB=PD。从而PB+PE=PD+PE，于是“折回”的折线E-P-B就变成了“折去”的折线E-P-D。

因为PD+PE≥DE，所以PD+PE的最小值为DE。

在Rt△ADE中，AD=2，AE=1，

所以DE=√5，

所以PB+PE的最小值为√5.

变式一：如图2，已知菱形ABCD的周长为16，面积为12，P，Q分别是边AB和对角线AC上的动点，则PB+PQ的最小值是_______。 （答案：3）

变式二：如图3，矩形ABCD中，AB=4，AD=9，P，Q分别是BC，AD上的动点，则AP+PQ+QC的最小值是______。

（答案：15）

变式三：如图4，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BCD=45°，AB=3，BC=4，P，Q分别是BC，CD上的动点，则△APQ周长的最小值是______。

（答案：5√2）