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将军饮马模型是解决几何最值比较重要的模型，包括两动一定模型、两定两动模型、两定一动模型，在文章2020年中考数学专题复习，几何最值之将军饮马、胡不归、隐形圆中有详细介绍，该模型在一次函数、反比例函数、二次函数、四边形中都得到广泛的应用，本篇内容主要讨论将军饮马模型在四边形中的应用。  两定一动模型例题1：如图，正方形ABCD的边长为16，M在DC上，且DM＝4，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是_______ ．  分析：求DN+MN的最小值，点D与点M两点是定点，点N是动点，因此是将军饮马中的两定一动问题，可以过其中一个定点作动点所在直线的对称点，然后将所作对称点与另一定点连接与AC的对称点即为点N。本题可以选择作点D的对称点，点D关于直线AC的对称点为点B，连接BM，则DN+MN可以转化为线段BM的长度，放在直角三角形BCM中，利用勾股定理求解。 练习1：如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_______ ．  练习2：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE＝2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是_______ ．  练习3：如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为_______ ．  将军饮马模型中两定一动在平常考试中是遇到最多的模型。 两动一定模型例题2：如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，P，E分别是线段AC，AB上的动点，PE+PB的最小值为_______ ．  分析：求PE+PB的最小值，点P与点E是动点，点B是定点，是典型的两动一定问题。我们可以先假设点E不动，那就是两定一动问题，过点B做直线AC的对称点，即为点D，然后连接DE，当然点E在运动。或者说就将线段PB转化为线段PD，求PE+PB的最小值即求PD+PE的最小值，就是求DE的最小值。那么点D、P、E需要满足三点共线，根据“垂线段最短”，且满足DE⊥AB于点E，此时DE最小，那么所求PE+PB最小。 练习4：如图，菱形ABCD中，AB=10，∠A=120°，若点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上任意一点，则PK+QK的最小值为_______ ．   两动两定模型例题3：如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长的最小值是_______  分析：求四边形AEPQ周长的最小值，即求AQ+QP+PE+EA的最小值，题目已知正方形的边长与BE的长度，即线段AE的长度已知，那么求四边形周长的最小值变为求AQ+QP+PE三段的最小值，可过点E作BC的对称点F，作点A作CD的对称点H，连接FH即为所求三段的最小值，四边形的周长最小值最终转化为求FH+AE的长度。 造桥选址模型例题4：如图，已知菱形ABCD的边长为10，E为AB中点，对角线BD上有两个动点P，Q总保持PQ=2，若BD=16，则四边形AEPQ的周长最小值为_______ ．  分析：本题也是两个动点两个定点的问题，但是两个动点形成了动线段，因此是造桥选址模型，可以先构造平行四边形，再转化为将军饮马模型。过点A作AH∥BD且AH=2，那么本题转化为PE+PH的最小值（两定一动模型），过点E作直线BD的对称点M，连接MH，即求MH的最小值。新的问题出现了，如何求MH的长度？两种方法：（1）构造直角三角形；（2）建立平面直角坐标系，求出两点坐标，利用勾股定理求解。  转化+垂线段最短例题5：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_________. 分析：求EF的最小值需要转化，四边形AEPF为矩形，根据矩形的对角线相等可得：EF=PA，即求PA的最小值，点P为线段BC上的动点，根据垂线段最短可知过点A作线段BC的垂线交于点P即可。 练习5：如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．则EF的最小值为_________. 胡不归问题例题6：已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的坐标是什么？ 分析：求点P到点B的时间最短，可以从点C开始考虑，因为点P在线段AC上所用的时间是固定不变的。通过路程、时间、速度的关系可知，时间等于二分之一CM+MB最小，通过∠ACB=30°可以转化二分之一CM，过点M作MH⊥BC交BC于点H，即求MH+MB最小，又转化为将军饮马的两动一定问题，过点B作直线AC的对称点为点D，过点D作BC的垂线与AC的交点即为所求点M。 初二特殊四边形中常见的将军饮马、造桥选址模型，胡不归暂时考查不多。 |
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