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唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题． 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． 这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它． _____________________________________ （2018年黄冈中考数学第13题） 如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）． 【答案】20． 【分析】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=√(A′D²＋BD²)＝20（cm）． （2018年贵港中考数学第11题） 如图，在菱形ABCD中，AC=6√2，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ） A．6 B．3√3 C．2√6 D．4.5 【答案】C． 【分析】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P、M即为使PE+PM取得最小值， 其PE+PM=PE′+PM=E′M， ∵四边形ABCD是菱形， ∴点E′在CD上， ∵AC=6√2，BD=6， ∴AB=3√3， 由S菱形ABCD=1/2AC·BD=AB·E′M得1/2×6×6=3√3·E′M， 解得：E′M=2√6， 即PE+PM的最小值是2√6． （2018年滨州中考数学第11题） 如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=√3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ） A．3√6/2 B．3√3/2 C．6 D．3 【答案】D． 【分析】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图， 则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC， ∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°， ∴此时△PMN周长最小， 作OH⊥CD于H，则CH=DH， ∵∠OCH=30°， ∴OH=1/2OC=√3/2， CH=√3OH=3/2， ∴CD=2CH=3．
（2018年泰安中考数学第12题） 如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C． 【分析】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°， ∵AO=BO，∴AB=2PO， 若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值， 连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值， 过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3， ∴AB=2OP′=6．
（2018年天津中考数学第11题） 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
A．AB B．DE C．BD D．AF 【答案】D． 【分析】解：如图，连接CP， 由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP， ∴AP=CP， ∴AP+PE=CP+PE， ∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长， 此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE， ∴AF=CE， ∴AP+EP最小值等于线段AF的长．
（2018年新疆中考数学第9题） 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A．1/2 B．1 C．√2 D．2 【答案】B． 【分析】解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长． ∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点， 又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN， ∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1， ∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1．
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