已知三角形三边求面积的公式——海伦公式

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，是一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式。下面我们利用初中的知识进行推导（注意：公式推导过程的方法比公式更为重要）

题：已知△ABC的三边为a，b，c，求△的面积S。

分析：以a为底边，欲求△ABC的面积，只需要求得BC上高。

解：作△ABC的高AD（如图）。设BD=x，则DC=a-x。

由勾股定理，得

AB^²-BD^²=AD^²=AC^²-DC^²,

所以c^²-x^²=b^²-(a-x)^²,

整理，得

2ax=a^²+c^²-b^²,

所以x=( a^²+c^²-b^²)/2a，

所以AD^²= c^²-x^²

= c^²-[( a^²+c^²-b^²)/2a]^²，

=1/(4a^²)·[4a^²c^²-( a^²+c^²-b^²)^²]

=1/(4a^²)·(2ac+ a^²+c^²-b^²)(2ac- a^²-c^²+b^²)

=1/(4a^²)·[(a+c)^²-b^²][b^²-(a-c)^²]

=1/(4a^²)·(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)

=1/(4a^²)·(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)，

所以AD=1/(2a)·√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]，

所以S=1/2·a·1/(2a)·√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]

=1/4·√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]，

令(a+b+c)/2=p，则

a+b+c=2p，

b+c-a=a+b+c-2a=2(p-a)，

c+a-b=a+b+c-2b=2(p-b)，

a+b-c=a+b+c-2c=2(p-c)，

所以S=1/4·√[2p·2(p-a)·2(p-b)·2(p-c)]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)].

这就是海伦公式。

当三角形三边长为整数时，利用这个公式求三角形的面积确实简便，因此，这个公式在实际问题中得到广泛的运用，更深受民间百姓的喜爱。