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爱因斯坦说过：“我想知道上帝是如何设计这个世界的。对这个或那个现象、这个或那个元素的谱我不感兴趣。我想知道的是他的思想，其他的都只是细节问题。”近代物理隐隐约约的表明，我们人类似乎已经接近于上帝的终极设计了，最小作用量原理、对称与守恒可能就是上帝设计世界的原则。最小作用量原理、对称与守恒不同于F=ma、F=GMm/r^2、F=kx、F=kQq/r^2这类的普通物理定律，他是物理定律的定律，是一切其他普通物理定律的基础。 最小作用量原理是一个令人神往的课题，费恩曼上高中时听到他的老师巴德给他讲的时候就被深深震撼了，我也是一样。当我第一次从费恩曼的书中看到这个原理时，真是有种无法言表的喜悦，好像是我窥见了上帝设计世界的图纸一般。后来我就如饥似渴的学习者有关引人入胜的最小作用量原理的知识，同时越来越被这伟大的原理所吸引。 主要思路如下： 自然中无处不在的极值 费马原理 力学中的最小作用量原理 作用量渗透整个物理学 对称守恒与作用量 自然中无处不在的极值 观察自然界的各种现象，会发现极值往往出现。知道这一点非常重要，在最小作用量被明确提出之前，人们已经研究了很多极值问题。我们先来看一些比较简单的极值问题，会对最小作用量原理有一个更深刻的认识，也能从中看出最小作用量原理的起源与历史。 物理定律都有两种表述形式：一种是普通的我们高中学的形式，用力、加速度、电场强度等概念描述的物理定律；另一种是极值的形式，在一个物理过程中某个量取得极值。这两种表述形式是等价的。 水珠也很有代表性。如果在太空中忽略重力，那么水珠会成为球形——相同体积的所有立体图形中表面积最小的，在物理中我们说表面势能最小（表面张力会使液体有一个表面势能，其大小正比于液体表面积）。如果考虑重力，液体的形状会是怎样的呢？是哪一个量取最小值呢，重力势能还是表面势能？聪明的造物主选择了这么一个量：重力势能加上表面势能最低。重力尽可能的把重心往下拽，表面张力又尽可能的使液体保持球形，最后就形成了一个扁扁的类似椭球的形状（不考虑液体与地面之间的分子力）。 以上种种现象表明，造物主似乎是个精明的经济学家，他总是尽心设计物理定律使得“成本”最小。很久以前，人们认为这些极值问题仅仅是一些物理定律的偶然结果，可是随着理论的发展，人们似乎慢慢认识到极值才是宇宙中最本质的定律。在今天，物理学家们已经找到了一种以统一的形式和精确的数学去描述这些极值问题的原理——最小作用量原理。 力学 就像最小作用量原理可以推导出所有几何光学定律一样，力学中也存在一个最小作用量原理的特例可以推导出整个牛顿力学。今天我们就来研究研究这个。 有这样一个事实：假定有一个质点在引力场中通过自由运动从某处移动至另一处——你把它抛出去，他就会上升又落下。如果画出x-t图（为了简化，只考虑一维的运动，设x轴是竖直的轴），那么运动图像是一条抛物线。你可以尝试着通过起点和终点画一些别的曲线，如果计算出经历整条路径期间动能减重力势能对时间的积分，你会发现所获得的数值比实际运动所获得的要大。如果我们设作用量S为 那么上面的事实换句话说就是作用量S在实际运动中取得最小值。对上面字母的解释：t1、t2表示运动的起点和终点时刻，1/2*m*v^2是研究物体的动能，V(x)是其势能（这里把它写成是随x变化的函数）。当物体只受重力的时候，V(x)=mgx。我们在上一篇文章中说过，一个泛函取得极值可以令其变分等于0，所以在力学中，最小作用量原理的特例就写作： 我们可以先定性的理解实际情况确实作用量最小。X增大时势能是增大的，作用量中势能前有个负号，所以应该在x比较大的时候多呆一段时间，而x比较小的地方尽可能快地往上爬，以保证动能减势能之差对时间累积之后尽可能小。 前面我举了重力势能最低、表面势能最低的例子，这其实就是作用量中动能那一项恒等于零的结果。需要注意的是，尽管我们总是叫最小作用量原理，实际上作用量不一定最小，它可以是极小值、极大值或者恒定值，重力势能最低实际上是作用量取极大值的情况（作用量中势能前有个负号）。 有了这个力学的最小作用量原理，我们只要把合适的V(x)带进去就可以得到各种各样的结果，很多东西就能被理解了。有人会说牛顿力学不是错的么，相对论更准确，从最小作用量原理推出的是不准确的结果，那么它本身也不会正确。我想说的是，原理本身没有错，主要是我们的推导没有考虑任何相对论效应，作用量本身也没有经过相对论的修正，但是严谨的表述是可以实现的。 构建整个世界 有人曾经问过我有没有一个公式可以描述整个世界，我的回答就是，可能会有，这个定律很可能就是最小作用量原理。《可怕的对称》生动地说道：整个宇宙的终极设计可以写到一张餐巾纸上，那一行紧凑的公式可以推导出所有物理定律。而那张餐巾纸上写的，其实就是作用量S的表达式。我们前面看到了S在几何光学中的特例，也看到了他在经典力学中的特例。终极设计的S中一些量为常数，就可以退化成各种各样的特例。在电磁学、热学、相对论、量子力学中，S也有各自的退化形式。而一旦终极设计的S中的所有项我们都弄清楚了，我们也就可以自豪地宣称我们理解宇宙了。可惜我们离这个梦想还差得很多。 当年20世纪初的时候，物理学大厦貌似被全部推翻了，似乎一切旧的理论都被新的理论所取代了。但是，“在如此多的废墟中间，还有什么东西屹立长存呢？最小作用量原理迄今未经触动，人们似乎相信他会比其他原理更久长。事实上，它是更加模糊，更加抽象。”庞加莱（Poincaré）（又被翻译成彭加勒）如是说。他还说道：“作为普遍的原理，最小作用量原理和守恒原理具有极高的价值，他们是在许多物理定律的陈述中寻求共同点时得到的，因此，他们仿佛代表着无数观察的精髓。”确实，很难想象最小作用量原理会被推翻，因为在最小作用量原理之外我们想不到还有什么更普遍而真实的原理了。现代物理已经全部构建在最小作用量原理之上，如果发现最小作用量原理不成立了，那可以说整个物理就没有什么对的东西了。 据说广义相对论就是建立在最小作用量的基础上的。定性的来说，光在弯曲的时空中走的仍是光程最短的路径，虽然在我们的眼中他并没有走直线，但是就像在篮球上划一条长度最短的线不是直线一样，光在弯曲时空中光程最短的路径并不是直线。因为我对广义相对论不熟悉，这里就不多说了。 费恩曼从高中起就对最小作用量原理非常痴迷，这也正奠定了他后来那么牛的基础。我们现在知道量子力学有三种等价表述：第一种是海森堡建立矩阵力学；第二种是薛定谔建立的波动力学；第三种则是费恩曼建立的基于作用量的量子力学——路径积分。费恩曼的这种表述发明的最晚，但是却是最简捷、最容易理解的一种表述（费恩曼自己是这么说的，到底是不是容易理解我不清楚）。 据说有一次开物理大会的时候，一个叫斯罗特尼克的物理学家做了一个报告，用旧的量子力学方法给出了描述电子从中子上反弹的方式的一些新结果，他在算的时候用了几个月的时间。费恩曼当时刚刚发明他的新理论，急迫的想验证理论的正确性，于是他那天晚上就回去算了同样的东西，想看看能否给出同样的结果。第二天费恩曼找到了斯罗特尼克并对比了结果。斯罗特尼克都快疯了：“你说你昨天晚上算了出来是什么意思，它可花了我6个月的时间！！！”核对结果时，费恩曼还发现斯罗特尼克算的是个零动量转换情况下的特解，而他算得却是这个问题的一种普遍形式的通解！可见费恩曼的理论有多么大的优越性，可见最小作用量原理在复杂问题上的优越性！ 不仅仅是相对论、量子力学需要最小作用量原理，甚至同一场理论、弦论都直接把最小作用量原理作为其理论根基。可见，最小作用量原理已经是物理的灵魂了。 对称守恒与作用量 作用量的形式变幻多端，有人曾问过我我们是怎么知道作用量的表达式的。我想说的是，人类还没有一套完整的直接写出不同领域的作用量的方法，但是利用物理定律的对称性人们可以更容易得找到正确的作用量。物理定律的对称性和平常所说的几何对称还稍有不同，我来简单介绍一下吧。 对称的定义要点是这样的：如果有一样东西，我们可以对它做某种事情，在做完之后，这个东西看起来依旧和先前一样，那它就是对称的（见《费恩曼物理学讲义 第一卷》第52章）。比如我们熟悉的轴对称图形，我们把它经过镜面反射，它看起来和原来一样，因此它就是对称的。 作用量的对称性就是物理定律的对称性。对于物理定律来说，他们应该满足一些对称性。例如，F=ma这样的定律，我们在实验室做实验、在海底做实验、在外太空作实验都可以得到，不会在哪里发现F=2ma或者F=m^2*a。我们称这些物理定律满足空间平移对称。物理定律还满足时间平移对称，我们一百年以前做的实验发现的定律，现在再做还会发现同样的定律，一百年以后依然如此，物理定律的形式不随时间的流逝而改变，就称这些定律满足时间平移对称。还有一个比较普遍的对称称为空间旋转对称，即我们无论脸朝着哪个方向看到的物理定律都应该都是相同的。以上三个对称性，是适用于所有物理定律的，至今没有发现任何物理定律例外。 还有一些对称性只是被部分满足。比如镜像对称，把整个世界的左和右颠倒过来，在弱互相作用发生的时候世界就会改变，但在其他过程中世界还是原来的模样。还有电荷共轭对称，除了在弱互相作用发生时，我们把世界上所有的正物质与反物质对换，物理定律不变。（可见弱互相作用很特殊）。 对称与守恒有着一种深刻而神秘的联系。这一联系是19世纪的一位女数学家——艾米?诺特尔（Emmy Noether）发现的，后人将其命名为诺特尔定理：作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应。在诺特尔定理发现之前，物理学家们在寻找守恒量的时候需要经过不知多少次尝试，甚至连所研究的物理过程究竟有多少守恒量都不知道。如果物理学家们只能用不停的试探来寻找守恒量的话，事情将十分令人讨厌。在需要考虑更抽象的作用量的今天就更是如此了。 下面我们列出几种常见的作用量对称与守恒之间的对应关系： 时间平移对称——能量守恒 空间平移对称——动量守恒 空间旋转对称——角动量守恒 镜像对称——宇称守恒 从上面的对应可以看出，时间平移对称应该是显然成立的，所以能量守恒牢不可破，所有物理定律没有例外；而宇称除了在弱互相作用下都守恒，正对应着除了在弱互相作用发生时把世界的左右颠倒之后作用量不变（至于宇称是什么，我也没有清楚的了解，反正是量子力学中的一个量，当年是杨振宁和李政道发现的宇称在弱互相作用下不守恒）。 最小作用量原理、对称、守恒，就这样联系在一起了：世界的运行满足最小作用量原理，作用量的形式受对称性的约束，对称性又与某个守恒定律等价。看来上帝的设计充满了美与和谐，一点也不像曾经想象的那样仅仅是一堆一堆唯象物理定律的堆砌。确实，造物主设计宇宙的时候写下的不可能是f=μN、F=kx这样的东西，直接写出作用量的表达式，再给出几个对称性，宇宙就变得稳定而有趣了。很多人抱怨物理很乱，可是我看到的只有物理之美！ |
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