|
数学的本质究竟是什么呢？其实，只要构造一种量（数），不管它在现实当中有没有，我们把这种量自身之间，以及这种量和其他量之间构成的运算关系找出来，解释清楚，形成一个体系，这就是数学。 现实生活当中，我们遇到计量问题，于是产生了数量，在探索数量运算的普遍关系时，又产生了代数。之前还介绍过带方向的向量，以及由数阵构成的矩阵，向量有向量代数，矩阵也有矩阵代数。有时候，一个向量并不能准确描述物体的状态，比如一个小立方体同时受到各个方向的力，不仅有促使变形的拉力和压力，还有促使扭转和弯曲的剪力，并且这些力由于作用点不同，是不能相互合并的，这个时候，便需要大量的向量来描述这个小立方体的状态，这就是张量。张量可以看做大量向量的构成的量。我们也可以把单独的一个向量叫做一阶张量，把一个数字看成零阶张量，相应地，还有二阶张量，比如描述刚才那个小立方体的应力张量，三阶张量，比如描述空间电磁性质的介电常数张量，以及用于描述空间扭曲性质的四阶张量等。张量分析就是研究张量间运算关系的数学。数学就是人们发现研究量之间的关系并借助这种关系来解决现实当中的数量问题、位置问题以及组合问题，这就是数学自身的意义。 实际问题很复杂，聪明的人们总是借助于概念抽取问题的关键，简化后再研究。概念本身便是我们的头脑对现实世界的模拟和简化，比如数字1这个概念，世界上没有相同的两片叶子，但我们头脑中这1片是等于那1片的，即1=1；再比如点，现实生活当中是没有点的，点就是一个我们头脑中的一个模型，它能够标明位置，但又忽略了长度面积体积等；同样的，微积分中的微分三角形，物理学中的微元，也都是我们头脑中的模型，它们保留了计量的性质，忽略的计量的数值。所以现实当中，点线面都是纯粹的瞎扯；但在数学当中，它们都是实实在在的研究对象。这些概念都是我们现实当中为了解决数量关系几何关系等构造的理想化的模型，它们绝不是现实本身。但正因为不是现实本身，这也成为数学重大进步的阶梯，数学和物理学一样，真正重大的进步都是基于现实去修改基础模型开始的。 数学的演进，就是这么一点点过来的，从小学开始，介绍算术和图形，算术主要认识数，会做加减乘除等简单运算；图形主要认识点线面和三角形，会算周长和面积，复杂一点的便是关于算术和图形的实际应用题。然后到初中，出现了代数和几何。代数是算术的一般化，从简单代数中又分化出方程，这是一个很重要的数学思想，方程就是将等量关系以数学的形式表达出来，列方程比较容易，解方程则较为复杂，对方程的求解促进了代数的进化；初等几何练习的是形式逻辑，它从几个简单前提出发，便可以推导出远远超过前提数量的结论，这样就把我们的头脑训练的比较发达，可以从蛛丝马迹的表象中看出大量背后所蕴含的东西。到高级中学，代数继续发展，进入二次方程和二元一次方程组，几何则出现了解析几何，主要研究二次曲线，以及一些简单函数，解析几何和简单函数的介绍都是在为进入高等数学做准备。 在大学，数学学习的主要部分便是微积分，或者叫做分析数学了。 |
|
|
