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圆面积的算法“化圆为方” 导语： 当西方的数学体系传入中国，中国的学者在感叹其先进而自成体系时，也对中国古代数学研究的发展脉络进行了梳理，最终认为，中国古代数学家们的“勾股术”、“重差术”、“天元术”、“四元术”等，其实也就是西方数学的源头。 明清之际，西方的数学体系传入中国，中国的学者们在震惊之余，也不断反思，梳理中国古代数学发展的脉络，探究中国古代数学与当时的西方数学间的异同。经过一番研究比较，人们认为，当时的西方数学知识固然先进而自成体系，但其实也是中国“古已有之”的，不足为奇。康熙皇帝时代，“西学中源”说被不少学者认同，他们认为：商高、陈子等人的“勾股术”，刘徽的“重差术”，就是西方几何学的源头，李冶、朱世杰的“天元术”、“四元术”，就是西方代数学的源头，杨辉、朱世杰等人的“垛积术”，就是西方微积分的源头，等等。这种思想的形成，无疑源自长期以来中国人“古老而骄傲的”民族性格，我们的古人在数学方面付出了极大的努力，做出了巨大的贡献，让我们不要忘记这些光荣的名字：商高、陈子、刘徽、祖冲之、祖暅、沈括、秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰…… “夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，数安从出？”（小） ——周公（《周髀算经》） 三千多年前的某一天，周朝的著名政治家周公在周王的花园里，碰到了数学家商高。 周公问商高：你们这帮数学家不是故弄玄虚的吧？什么天有多高地有多大，日月星辰一天走几度，怎么你们都知道啊？“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，数安从出？” 商高从容回答：数学家的学问，妙就妙在并非什么都要用尺子来量，只须通过数学计算，一样可以得到正确的数字。比如这个直角三角形——他用一根牛的大腿骨和一段绳子作道具，比比划划，向周公解说：牛的大腿骨立在地上，高四尺，从牛骨的底端沿地面伸开一段绳子，使这段绳子正好长三尺，再将余下的绳子折向牛骨的顶端，请问，最后这一段斜向牛骨顶端的绳子，应该长几尺？不须用尺子量，它的长度一定是五尺。可见，数学家能算出太阳的高度来，不是什么稀奇事。 商高总结说：在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别是三和四，那么斜边的长度一定是五，“勾三股四弦五”，这一个著名的论断被记载在著名的《周髀算经》一书里，这就是后人所熟知的“勾股定理”的一个特例。 勾股定理作为一个大自然的秘密，注定要被世界上各个地方的人们分别发现，或早或晚，因为这个定理就隐藏在人们的身边，在每一个直角三角形里，除非你永远不盖房子，不造马车，不修陵墓，不建金字塔，否则，这个秘密就会不可避免地被人们发现。 在中国，勾股定理的发现被归在这个名叫商高的数学家兼天文学家的名下，所以后来又有人称它为“商高定理”。当然，如果仅仅有“勾三股四弦五”这一句话，那还不算真正全面阐述了勾股定理的内容，“勾三股四弦五”只是勾股定理的一个特例。 若干年以后，周公的后人陈子也成了一个数学家，他曾详细讲述了运用勾股定理测量太阳高度的全套方案，为此，陈子说了一句更为重要的话，同样被记载在《周髀算经》这部书里，他说：“求斜至日者，以日下为句，以日高为股，句股各自乘，并以开方除之，得斜至日。” 《海岛算经》插图 在商高和陈子的时代，人们以为脚下的大地是一个大得没边的平面，只要知道了从观察点到太阳正下方的距离，知道了太阳离地面的垂直高度，当然就可以求出太阳到观察者的直线距离了，从观察点到太阳的正下方是勾（“以日下为句”），太阳到地面的垂直距离是股（“以日高为股”），剩下观察点到太阳的距离，就是弦（“斜至日”），如此如此，求“斜至日”的办法是“勾股各自乘，并开方除之”：勾和股先自己乘自己一遍，加起来的和再开平方，就得到了弦长。虽然和我们今天对勾股定理的表述在习惯上有所不同，但这也是对勾股定理的完整表达。 据《周髀算经》记载，陈子和他的科研小组测得日下六万里，日高八万里，根据勾股定理，求得斜至日整十万里。他进而还算出了太阳的直径，为了达到这个目的，他用一只长八尺，直径一寸的空心竹筒来观察太阳，让太阳恰好装满竹筒的圆孔，这时候太阳的直径与它到观察者之间的距离，其比例正好是竹筒直径和长度的比例，即一比八十。 可惜，这些结论都是错的！ “此亦望远起高之术……”（小） ——陈子（《周髀算经》） 看起来，陈子是当时的数学权威，《周髀算经》这本书，除了最前面一节提到商高以外，余下的部分说的都是陈子的事情。 一天，一位名叫荣方的人跑来请教陈子：听说根据先生的学问，可以算出太阳有多高多大，一天之中太阳行多少里，天有多高地有多远，总之想知道什么就知道什么，是这样吗？ 陈子回答：然。 等了一阵不见下文，荣方只好再问：“方虽不省，愿夫子幸而说之。”陈子回答：其实也没什么难的，不过是运用一些算术的方法就足够了，你回去好好思考一下吧。就这样把荣方打发回去了。 荣方回去想了好几天，还是想不出有什么好办法可以算出太阳的高度来，只好又去请教陈子：“方思之不能得，敢请问之。” 陈子曰：“思之未熟。此亦‘望远起高之术’，而子不能得，则子之于数，未能通类，是智有所不及，而神有所穷。”一点也不客气地批评了荣方。 《九章算术》书影 注意陈子所说的“望远起高之术”，这是当时人们在生产实践中，特别是大型的建设活动中，已经熟练掌握的一套测算距离和高度的方法，陈子认为同样可以用来测算太阳的高度。 倒霉的荣方思考了好几天，还是想不出问题的答案，不得不第三次去请教，陈子这才原原本本，把这一套方法向荣方讲了一遍，自此，一部《周髀算经》直到结尾，都是陈子的讲话记录。 陈子讲得信心十足，却根本没有意识到，他想当然的许多东西，其实都是错的。他不知道他脚下的大地，看似无边无际，平坦无垠，实际不过是小小一丸球，体积仅为太阳的130万分之一，以地球之微来测太阳之巨，无异于“以蠡测海”。 除了太阳的高度，陈子还讲了许多问题，天有多高地有多大，太阳一天行几度，在他那儿都有答案，所以人们认为《周髀算经》又是一部天文学著作，记载了不少当时人们已经掌握的天文学知识。书的最后部分，陈子指出：一年有三百六十五日四分日之一，有十二月十九分月之七，一月有二十九日九百四十分日之四百九十九，有零有整，不失精确，而且基本上都是对的。 所以，三千多年前的陈子，他的学问也不是那么简单的，虽然他不是全对。 “观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。”（小） ——刘徽（《九章算术注》序） 到了三国魏晋时代，中国又出了一位了不起的大数学家，他的名字叫刘徽。 《测圆海镜》书影 根据刘徽的著作，人们推断他生活的时代是“三国魏晋”，他的出身，他的生平事迹则没有人知道，但他的家庭条件比较好应该是可以肯定的，因为从小，他就有机会在老师或长辈的指导下研究数学这门学问，如他自己所称的那样：“幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。”学习数学不是一年两年了，很有心得。 刘徽一生的数学成就斐然，其中最为人们熟知的一项，是他详细记录了用“割圆术”算出圆周率“密率”的方法，这在当时绝对是领先世界的数学成就。 刘徽也研究自商高、陈子那时就遗留下来的数学难题：“太阳到底有多高猜想”。刘徽汲取了前人的经验，提出更加完美的方案，假如我们脚下的大地真的是一个大得没边的平面，那么，用刘徽的这套办法，就会真的计算出太阳的高度来，如假包换。他的方案是： 立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之景。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。 让我们简单翻译一下，大体上说，他的方案是这样： 在洛阳城外的开阔地带，一南一北，各立一根八尺高的标杆，在同一天的正午时刻测量太阳给这两根标杆的投影，以影子长短的差作分母，以标杆的长乘以标杆之间的距离做分子，两者相除，所得再加上标杆的长，就得到了太阳到地表的垂直高度。再以南边一杆的影长乘上两杆之间的距离作为分子，除以前述影长的差，所得就是南边一杆到太阳正下方的距离。以这两个数字作为直角三角形两条直角边的边长，用勾股定理求直角三角形的弦长，所得就是太阳距观测者的实际距离。 《测圆海镜》书影2 当我们按照刘徽的思路，将他的这一套方案具体到一张几何图中的时候，我们就会惊讶地发现，他的方案看似莫名其妙，毫无逻辑可言，实则运用了相似三角形相应边的长成比例的原理，巧妙地用一个中介的三角形，将另外两个看似不相干的三角形联系在了一起。这一切，和我们今天在中学几何课本中学到的方法一模一样。而刘徽其人生活的时代，距今已近两千年了。 “虽天穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉！”（小） ——刘徽（《九章算术注》序） 和陈子一样，刘徽测算太阳高度的方案因为前提的错误，结果当然也是错误的，不过，这套方案本身并不是为了测量太阳的高度而专门设计的，方案的原始目的只是测算地面上的高山大河，测算山有多高，河有多宽，路有多远，只要忽略地球的表面是个球面这一问题，刘徽的方案堪称完美。 曾经，在长沙马王堆的汉墓里出土过一幅帛画的地图，人们将它和实际的地形相比较，发现地图惊人准确，考古工作者还利用这张将近两千年前的地图作向导，又发现了周围一带其他的地下遗迹。这看起来似乎很难让人相信，但有了刘徽所记载的这一套测天量地的方法，这也就不算是什么奇迹了。 刘徽总结的这一套测天量地的数学方法叫做“重差”。“重差”也是刘徽的一部数学著作的书名，这部著作研究的第一个例题是测算一个海岛有多高多远的问题，因此它还有一个名字叫做“海岛算经”。这部著作篇幅不长，似乎没有出过单行本，长期以来附在《九章算术》的后面，流行于世，所以历代的《九章算术》都有十卷。 《九章算术》刘徽注 刘徽对“重差术”进行了比较全面的总结，无论是测量一座山有多高，一条河有多宽，一道沟有多深，都可以用到重差术，其原理就是利用两根或两根以上的标杆，将被测量的对象纳入到一组相关的三角形中间来，又通过三角形之间的关系，算出所要求得的对象。显然，古代的“重差术”，现在叫做“测量”或者“测绘”，也就是陈子提到的“望远起高之术”。 重差术经过了实践的检验，刘徽曾自信地说，利用这种方法“虽天穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉！” “半周半径相乘得积步”（小） ——《九章算术》 和直角三角形一样，圆这个几何图形里面，也隐藏着一个大自然的秘密，那就是圆周率。 我们的古人实在是太有才华，不管是中国的外国的数学家们，居然如此巧妙地，分别找到了计算圆面积的方法，让人想不佩服都不行。 重绘《测圆海镜》插图 我们试在纸上画一个圆，将这个圆沿直径分成两个半圆，然后：分别将两个半圆像切西瓜一样割成八块，让它们像切好的八块西瓜一样，一个挨一个放在桌子上，或者，想象它们是一把只有八个齿的梳子，现在我们有两把这样的梳子，再将这两只梳子齿对齿地插在一起，于是就凑成了一个近似的长方形，它的短边正好是这个圆的半径，它的长边不是一条直线，而是由六段弧线构成的。让我们再作进一步假设，假设：我们当初不是将半圆分成八份，而是分成了六十份，甚至三百六十份，那么，这条长边就会变成一段近似的直线，这条近似的直线非常接近半个圆周的长度。 两千多年前人们计算圆面积的方法就是这样“化圆为方”，将圆周长的一半与圆的半径相乘，正如《九章算术》方田章中所指出的一样： “圆田……术曰：半周半径相乘得积步。” 圆面积的计算方法太简单了，简单到就像一层窗户纸，一捅就破。但是，几千年以前的数学家们，不知道花了多大的工夫，经历了多少不眠不休的思考，才终于捅破了这层窗户纸。 《九章算术》书影2 “假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。”刘徽则在他的《九章算术注》里详细写到了如何计算“圆周率”，也就是圆的周长和直径之间的比率。 在长期的实践活动中，人们发现圆的周长和直径之间有一个固定的比率，它的数值大约是3，只不过还要多那么一点。《九章算术》方田章的第三十一题是这样的：今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？ 我们一看这个圆就有点问题，世上并不存在一个直径为十，周长为三十的圆，“径一周三”是中国古代圆周率的“约率”，在《九章算术》整本书里，圆周率采用的都是这个约率，显然，这个约率相当粗糙，给人们的生产生活实践造成了不少烦恼。数学家们清楚，圆周率一定不是3，而是比3稍微大一点的一个数字。追逐圆周率这个大自然秘密的竞赛，就这样开始了。 计算圆周率的突破性进展，是由刘徽来完成的。刘徽在为《九章算术》作注的时候，详细记载了用“割圆术”计算圆周率的方法，他正确计算出了圆内接正192边形和3072边形的边长，从而得到了圆周率3.14和3.1416的数值，成为当时领先世界的数学成就，这是我们都熟悉的史实。 “割圆术”的办法，就是不断增加圆内接正多边形的边数，让这个多边形的边长不断地逼近圆周的方法。刘徽在《九章算术注》中写道：“假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。”画一个直径二尺的圆，在圆中作一个内接正六边形，正六边形的周长和圆的直径比例为三比一。正六边形的边长恰好与圆的半径相等，利用这一条件，依勾股定理，可以求得这个等边三角形的高。一切从这里开始，按同样步骤重复下去，圆内接正多边形的边长会不断接近圆的周长，求得的圆周率也就会越来越精确。 割圆术 刘徽想到了，而且做对了。通过这种方法来计算圆周率，要经过怎样庞大的计算，可想而知，其中还要反复用到繁难的开方计算，可是古代的数学家们毫不畏惧，勇敢迎接挑战，一点一点，再接再厉，试图揭开这个隐藏很深的秘密。 “穷年致志，感于梦寐，幸而得知，谨不敢隐”（小） ——秦九韶（《数书九章》序） 生活年代较刘徽晚一点的祖冲之，也是一位著名的数学家，他同样利用了“割圆术”的办法，穷追圆周率这个大自然中无尽的秘密，通过艰苦的努力，也取得了不俗的成绩，刷新了记录，名垂后世。 和刘徽的情况稍有不同，祖冲之在当时（南朝宋、齐）的政府里面任有职务，所以在官方的史书中，留下了一篇简短的传记。据说他很有巧思，曾经设计制造过一些自动化的机械，可以与诸葛亮的“木牛流马”相媲美。 祖冲之的儿子祖暅也是一位数学家，父子两人合著了一本名叫《缀术》的数学著作，书中就记载了他们将圆周率计算到3.1415926与3.1415927之间的成果，这在当时也是相当突出的成绩。可惜，后来《缀术》一书失传了，只有从其他著作的引文中，后人才能看到这本书的片断。 祖暅痴迷数学的程度有甚于他的父亲，当他思考数学问题的时候，哪怕天上打着惊雷，他也可以充耳不闻。一天，祖暅一边走路，一边思考数学问题，不小心撞到了别人的身上，一时传为笑谈，事情被写进了他们父子两人的传记之中。 《测圆海镜》书影3 到了十三世纪的宋元时期，中国古代的数学发展又迎来了一个黄金时代，达到了一个新的高峰，可惜这是中国古代数学史上的最后一个高峰，此后，中国古代数学再也没有突破性的进展，而西方的数学研究则取得了飞跃的进步。 在这个最后的黄金时代，中国出现了四位最重要的数学家，被后人称为“宋元四大家”，他们是南宋的秦九韶、杨辉，金元时期的李冶，元朝的朱世杰。 秦九韶早年“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，学成以后，写成了著名的《数书九章》一书。在该书的序言中，秦九韶写道：“数理精微，不易窥识，穷年致志，感于梦寐，幸而得知，谨不敢隐。”日思夜想，梦寐求之，一旦有所收获，赶紧记录下来，留给后世。科学，就在这样点点滴滴的努力中，得到了进步。 杨辉是南宋另一位著名的数学家，他在数学方面的著作很多，除了对学科中的某些领域有所开拓以外，他还将《九章算术》中的题目重新做了排列分类，指导人们学习研究，对古代数学的教育和普及做出了贡献。 朱世杰是元朝享有盛誉的职业数学家，后人称他“以数学名家，周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”，学术地位非同一般。朱世杰的数学代表作有《算学启蒙》和《四元玉鉴》两种。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传朝鲜、日本等国，古代朝鲜曾以《算学启蒙》开科取士，深刻影响了这些国家的数学教育和发展历史。《四元玉鉴》则是中国宋元时期数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学成就有“四元术”、“垛积术”与“招差术”等。
李冶陈列馆 而四人中最为出色的，应当是李冶。 “踵门而学者云集”（小） ——《四元玉鉴》序 “宋元四大家”中的李冶，是真定栾城县(今河北省石家庄市栾城区)人，金朝进士。当蒙古帝国的军队攻入中原、围困金朝的南京汴梁之际，李冶就在围城之中。城破之后，李冶辗转北上，来到河北一个名叫“封龙山谷”的地方，隐居下来，一呆就是二十年。在这里，李冶开办了一所名叫“封龙书院”的学校，教授他毕生精研的数学。李冶著有《测圆海镜》和《益古演段》两部数学著作，其中《测圆海镜》的成书标志着“天元术”的成熟，《益古演段》则是“天元术”的普及读物。 李冶在他的著作中，研究了把实际问题化成高次方程的数学模型，他称方程中的未知数为“天元”，称他的求解方法为“天元术”。有研究者指出：李冶的《测圆海镜》标志着“天元术”的成熟，此后，元朝郭守敬编撰《授时历》，使用“天元术”求周天弧度，又用“天元术”来解决水利工程中的计算问题，都收到了良好的效果。“天元术”很快发展为“二元术”、“三元术”，以至朱世杰的“四元术”，成为中国传统数学发展史上的一次高潮。
马王堆出土地图 1265年，应元世祖忽必烈的反复邀请，七十三岁的李冶离开封龙山谷，来到北京城里，在元朝刚刚建立的翰林院里任职。可以想象，一个隐居了二十年的老数学家，到了翰林院这样的机关里，还能有什么大的作为？这份工作显然不适合李冶其人，所以他“就职期月，复以老病辞去”，坚决地托病辞职了。 李冶离开北京回山，从此不再离开封龙山谷半步，他继续埋头研究、教授数学，直至87岁去世。史家评论李冶：“讲学著书，秘演算术，独能以道德文章，确然自守，至老不衰。”他还有两句诗流传至今，很好道出了他在封龙书院的身心状态：“隐身免留千载笑，成书还待十年闲！”
李冶墓修复记 公元1279年年初，南宋王朝最后的武装力量在广东崖山海域覆亡，其后某一天，八十七岁的老数学家在遗嘱中写道：“吾平生著述，死后尽可燔去，独《测圆海镜》，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者，庶可布广垂永乎？” 前不见古人，后不见来者，中国古代数学家们的一生是何等寂寞啊！李冶老人不知道，他当年研究的“九九小数”，今天已经成了人类最重要的学问之一，岂止“布广垂永”，而且日新月异，人才辈出。后人也到底没有忘记这些古代数学的先驱者们，1992年，在李冶的故乡河北栾城，人们建起了一所“李冶陈列馆”，以此纪念李冶诞生800周年。李冶这位中国古代数学家，已被公认为中国乃至世界的文化名人。 李冶先生泉下有知，可以含笑而无憾了。
秦九韶像
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