刘徽（大约生于公元250年左右），三国后期魏国人，淄川（今山东邹平）人。他是中国数学史上一位非常伟大的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一，在世界数学史上，也占有杰出的地位。其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。下面从几个方面来认识一下这位伟大的数学家。
一、数学著作
《九章算术注》
刘徽的数学著作留传后世的很少，所留之作均为久经辗转传抄。他的主要著作有：
1、《九章算术注》10卷，成书于公元263年（《隋书?律历志》记载：“魏陈留王景元四年（263年），刘徽注《九章》）
《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，作者不祥，它是中国古代算法的基础。书中记载了从先秦到东汉的数学成果，共提出了246个数学问题，并给出相应的解法，共分为九大类，分别是：
（1）方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，包括三角形、梯形、圆、弧与环形等形状面积的计算方法，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作；
（2）粟米：主要是粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题；
（3）衰（读作“翠”）分：主要内容为比例，算术级数和几何级数的算法；
（4）少广：主要讲开平方和开立方的方法；
（5）商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体积的计算为主；
（6）均输：计算税收等相关问题，比如缴税的时间周期，按人口征税等；
（7）盈不足：双设法的问题，实质上是已知两点求通过两点的直线方程；
（8）方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现；
（9）勾股：勾股定理的应用。
《九章算术》在许多方面：如解联立方程、分数四则运算、正负数运算、几何图形的面积体积计算等，在当时，都属于世界先进之列。但原书文字过于简单，往往只有解法而缺乏证明过程，并且在传抄的过程中，不可避免地会出现错误；所以刘徽为《九章算术》作注，在其中阐明了解题方法的步骤和推导过程，还给出了一些算法的证明，并纠正了原书中的一些错误。而在作注的过程中，他还做出了很多创造性的工作，提出了不少超出原著的新理论。有了刘徽的注释，《九章算术》才得以成为一部完美的中国古代数学教科书。（刘徽注《九章算术》时年仅30岁左右。）
以《九章算术》代表的中国古代传统数学，与欧几里得《几何原本》为代表的西方数学，代表着两种迥然不同的体系。《九章算术》着重应用和计算，其成果往往以算法形式表达。《几何原本》着重概念与推理，其成果以定理形式表达。从而形成东西辉映、大相径庭的两部数学名著。而刘徽和欧几里得也成为了古代东西方两大数学体系的代表人物。
公元元年前后，盛极一时的古希腊数学走向衰微，《九章算术》的出现，标志着世界数学研究中心从地中海沿岸转到了中国，开创了东方以应用数学为中心占据世界数学舞台主导地位千余年的局面。
2、《海岛算经》1卷
《海岛算经》是刘徽所著的一部运用几何和三角知识测量“可望而不可即”目标的高、远、深、广的数学测量学著作，原名为《重差》（所谓“重差术”便是计算极高和极低的方法），附于刘徽《九章算术注》之后作为第十章。唐代将《重差》从《九章》分离出来，单独成书，按第一题“今有望海岛”，取名为《海岛算经》，是《算经十书》(古代国子监算学学习和考试用书) 之一，并且规定《海岛算经》的学习期限为三年，是其他算经学习期限的三倍。
现传版本的《海岛算经》是清初编辑《四库全书》时，戴震从明朝《永乐大典》中重新抄录出来的，但只剩下九个问题，并且只存刘徽文字，原刘徽作的图和原刘徽所作的注释不存。
1、望海岛
2、望松生山上
《海岛算经》
3、南望方邑
4、望深谷
5、登山望楼
6、南望波口
7、望清渊
8、登山望津
9、登山临邑
这九个问题的所有计算都是用筹算进行的。
《重差》和《九章重差图》是陈子（公元前六、七世纪的中国数学家）测日法的推广。
《海岛算经》所提及的“重差术”是透过对事物对象的反覆观测（第一、三、四问要观测两次，第二、五、六、八问要观测三次，第七、九问要观测四次），在不引入三角函数的情况下，刘徽借助于相似勾股形的比例关系将中国古代的“重差”理论进一步发展，从而计算出精确的结果，同时展示了两者的演化历程，这标志着中国古代数学家在测量技术及理论方面达到了新的高度。
《中国数学史大系》一书中评价《海岛算经》：“使中国测量学达到登峰造极的地步。
3、《九章重差图》l卷
《九章重差图》记录了《九章算术》注及《重差》中的图形，及是一本图册。刘徽以后，学习和研究《九章算术》的人要把图册和书相配合，直至宋代图册失传。
4、《鲁史欹器图》1卷
《鲁史欹器图》出现在隋朝，为“仪同刘徽注”，此刘徽可能为数学家刘徽，这个问题在中国古代数学史上不同看法。
（3、4的看法，节选自吴文俊主编，《中国数学史大系》第三卷第二编）
二、数学成就
刘徽的数学成就大致为两方面：
1、清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础，这方面集中体现在《九章算术注》中，它实已形成为一个比较完整的理论体系：
①在数系理论方面
用数的同类(是指用同一度量单位『即法，即现在分数中的分母』所得之数，后刘徽又在正负数的概念中用同类来指正数)与异类（即实，即现在分数中的分子，后也指负数）阐述了通分（刘徽概之为“齐同以通之” ，即现在分数运算、比较时，把分母相乘以达到分母相等，即得到“同”）、约分（用各分数的分母除“同”而得各分数的率，用“率”乘各分子即得“齐”，“齐”就可以比较了），这样就可进行分数的四则运算，以及繁分数化简等的运算。
（比如 ，“同”即为 ，各分数的“率”即为 ， ， ，直接用它们乘以 、 ， ，即得到相应的“齐” ，然后就可进行计算、比较）
在少广章开方术的注释中，他从“开之不尽”的意义出发，论述了无理方根的存在；并且为了开方运算的方便而“以面命之” ，即从几何的观点出发，在“量之不尽”时用线段（如 ，用正方形的对角线表示）来表示无理方根。并创造了用十进制小数来表示无理数的立方根。他是世界上最早提出十进制小数概念的人。
另外，他还方程章中正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则。（刘徽注中的正负数的定义是“今两算得失相反，要令正负以名之”。另外，中国古代数学家在用算筹解方程时，一般用红色的算筹来代表正数，黑色的算筹来代表负数；也有用三角形算筹代表正数，四边形算筹代表负数的。）
【算筹的发明和十位进制的创立】
古代的象牙算筹
中国古代有一句谚语，叫做“运筹策帷幄之中，决胜于千里之外”。其实，筹策的本意是指中国古代的一种计算工具----算筹，又称算子，在中国历史上曾经使用了几千年之久，直到明代以后才被算盘所替代而退出历史舞台。
根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13-14厘米，直径2至4毫米，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。
算筹是在结绳记数、契刻记数等记数方法的历史发展中逐渐产生的。它最早出现在何时，现在已经不可查考了，但至迟到春秋战国，算筹的使用已经非常普遍了。
那么怎样用这些小棍子来表示各种各样的数目呢？
古代的数学家们创造了纵式和横式两种摆法，这两种摆法都可以表示1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数码。下图便是算筹记数的两种摆法：
古代算筹记数的摆法
那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是因为十进位制的需要了。所谓十进位制，又称十进位值制，包含有两方面的含义。其一是“十进制”，即每满十数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百……；其二是“位值制”，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码“2”，放在个位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的荫芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制了。
按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式……这样从右到左，纵横相间，遇零则置空，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。
中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就，在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。
马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为“最妙的发明之一”，确实是一点也不过分的。
②在筹式演算理论方面
先给“率”以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础。
他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
如方程章第一问：
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？
【古代解释】答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，
中禾一秉，四斗、四分斗之一，
下禾一秉，二斗、四分斗之三。
方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。
【现代解释】解：设上、中、下禾每秉各有x、y、z斗，则据题意可列成联立一次方程组
其术文演算过程可以用矩阵的知识表示如下：
综上：上、中、下禾每秉各有 ， ， 斗。
③在勾股理论方面
刘徽勾股证明
逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
④在面积与体积理论方面
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种平面几何图形、空间几何体的面积及体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
2、在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：
①“割圆术”与圆周率
他在《九章算术 圆田术》注中，刘徽创造了“割圆术”，并用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，在得到圆面积公式的过程中又准确的求解了圆周率（即π），并给出了计算的过程。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，称为“徽率”（有些书上提到说：刘徽算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，但是，经论证，这个结果应该是祖冲之用刘徽的方法得到的，据《中国数学史大系》）。刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。
刘徽割圆术
而根据他提出的方法，大约两百年后，祖冲之父子突破性地把圆周率计算到了小数点后的第七位。
②刘徽原理
在《九章算术》阳马术注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
③“牟合方盖”说
在《九章算术》开立圆术注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
④重差术
在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。
《海岛算经》望海岛图
如《海岛算经》第一问望海岛：
今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末三合。问岛高及去表各几何？
【古代解释】答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。
术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表里数。
古代所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸；１里＝180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。
【现代解释】分析：望海岛二次测量示意图由于前表去岛的距离不能直接测量，刘徽用同样高度的表杆前后测量，表杆与地面垂直，人眼贴地，望表杆顶和岛上山顶对齐，这时测得人眼和前表杆的水平距离叫“前表却行”(DG=123步)；再将表杆往后移动，两表杆间距称为“表间”(DF=1000步)，依法测出“后表却行”FH=127步。
解：设岛高为AB，前表杆离岛的距离为BD
已知表高CD=3丈=5步，前表却行DG=123步，后表却行FH127步，则相多为FH-DG=4步，表间为DF=1000步，
因为： ，
所以： ,
所以： 即
所以：
所以： , 带回，得
所以：得岛高 步 尺
前表去岛远近 步 尺
三、贡献和地位
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位不高，但人格高尚。刘徽思想敏捷、方法灵活，既提倡推理又主张直观，他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽治学态度严肃，为后世树立了楷模。在求园面积公式时，在当时计算工具很简陋的情况下，他开方即达12位有效数字。他在注释“方程”章节18题时，共用1500余字，反复消元运算达124次，无一差错，答案正确无误，即使作为今天大学代数课答卷亦毫无逊色。
他善于在深入实践的基础上精炼出一般的数学原理, 并解决了许多重大的理论性问题。后人把刘徽的数学成就集中起来, 认为他为我国古代数学在世界上取得了十个领先, 它们是:
1、他最早提出了分数除法法则；
2、他最早给出最小公倍数的严格定义；
3、他最早应用小数；
4、他最早提出非平方数开方的近似值公式；
5、他最早提出负数的定义及加法法则；
6、他最早把比例和三数法则结合起来 (若 , 则 ) ；
7、他最早提出一次方程的定义及其完整解法；
8、他最早创造出割圆术, 计算出圆周率即“徽率” ；
9、他最早用无穷分割法证明了圆锥体的体积公式；
10、他最早创造“重差术”, 解决了可望而不可及目标的测量问题。
经他注释的《九章算术》影响、支配中国古代数学的发展1000余年，成为东方数学的典范之一，在刘徽的《九章算术注》之后中国古代数学才真正形成了自己的理论体系。
同时，中外学者对《海岛算经》的成就，也给予很高的评价。《海岛算经》的英译者和研究者，美国数学家弗兰克?斯委特兹说：“直到文艺复兴时期，西方测量学才差强达到《海岛算经》水准。中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年。”
因此，他的工作对中国古代数学发展产生了深远影响，为我国古代数学的发展做出了重要的贡献，并且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。当代数学史学家李迪说：“刘徽是中国历史上最伟大的数学家
