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【考点聚焦突破】 考点一 构造函数证明不等式 【规律方法】 1.证明不等式的基本方法： (1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②∀x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论. (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m). 2.证明f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0.先通过化简、变形，再移项构造不等式就减少运算量，使得问题顺利解决. 考点二 利用“若f(x)min>g(x)max，则f(x)>g(x)”证明不等式 【规律方法】 1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题. 2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立.从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”. 考点三 不等式恒成立或有解问题 多维探究 角度1 不等式恒成立求参数 【规律方法】 1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围. 2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围. 角度2 不等式能成立求参数的取值范围 【规律方法】 1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法 a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min； a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max. 2.含全称、存在量词不等式能成立问题 (1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.
【反思与感悟】 1.证明不等式的关键是构造函数，将问题转化为研究函数的单调性、最值问题. 2.恒(能)成立问题的转化策略.若f(x)在区间D上有最值，则 (1)恒成立：∀x∈D，f(x)>0⇔f(x)min>0； ∀x∈D，f(x)<0⇔f(x)max<0. (2)能成立：∃x∈D，f(x)>0⇔f(x)max>0； ∃x∈D，f(x)<0⇔f(x)min<0. 【易错防范】 1.证明不等式，特别是含两个变量的不等式时，要注意合理的构造函数. 2.恒成立与能成立问题，要注意理解“任意”与“存在”的不同含义，要注意区分转化成的最值问题的异同. 【核心素养提升】 【逻辑推理】——两个经典不等式的活用 逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程. (1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立. (2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1).
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