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列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等． 二、列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步也是： “审、设、列、解、答”． (1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系，这一步是解决问题的基础，可以利用辅助表格帮助理清数量关系 (2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易； (3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键，但是如果第1步（'审'）理清了数量关系，列方程并不难 (4)“解”就是求出所列方程的解； (5)'验'就是检验，分两部分：一是检验所得的未知数值是不是方程的解；二是检验是否符合实际情况(需格外留心隐含条件)，尤其一元二次方程一般有两个根，检验是否都满足 (6)“答”就是书写答案，要详实规范，并注意单位 三、一些常见问题的做题技巧 （1）数与数字的关系 两位数=(十位数字)×10＋个位数字 三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字 （2）'翻一番' '翻一番'即表示为原量的2倍，'翻两番'即表示为原量的4倍． （3）平均增长率问题 n次增长/下降，且增长率相等的问题的基本等量关系式为： （4）商品销售问题 与一元二次方程相关的商品销售问题，一般会直接或间接给出一个一次函数关系，我们往往会把这个当作'突破口' 四、列方程解应用题的关键点 很多老师在讲解列方程解决实际问题时，把找等量关系作为重点，但是通过Leo老师与孩子的深入接触，发现如果把找等量关系作为重点，反而使其成为难点。Leo老师认为应该把列方程解应用题的关键点在于理清数量关系上，因为只要把各数量之间的关系理清楚了，等量关系就'手到擒来'了，常采用的辅助工具有：辅助表格，线段图，尤其辅助表格最为常用，而线段图常用于解决行程和工程问题 五、常见类型 【类型一】商品销售问题 基本工具：
突破口：找到并会利用题目中的一次函数关系 1、 某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 【分析】一次函数关系直接给出 题目中直接给出了一个一次函数式P=100-2X，于是我们可以设每件商品的售价为x元，则每天的销售量为(100-2x)件，结合辅助表格分析数量关系： 请注意，这里有个隐含条件：销售量P≥0，即100-2x≥0，又x≥0，得0≤x≤50，所以一定要检验所求得的根是否满足上述条件 2、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】一次函数关系间接给出 根据'若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克'可找到日销售量P与涨价钱数X的函数关系，P=500-20X，于是我们设每千克应涨x元，则日销售量为(500-20x)千克，涨价后每千克盈利(10+x)元，根据'单件利润×销售量=总利润'，可列方程：(10+x)(500-20x)=6000① 请注意这里的隐含条件：销售量P≥0，即500-20x≥0，得x≤25 方程①解得：x=5或x=10 要使顾客得到实惠，所以x=5 【类型二】平均增长率问题 基本工具： 3、青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为多少？ 【分析】 4、某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； 【分析】 （2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100−m)件 第一次降价后的单件利润为： (400×(1−10%)−300=60(元/件)； 第二次降价后的单件利润为： 324−300=24(元/件)， 依题意得：60m+24×(100−m)=36m+2400⩾3210， ∵m为正整数 ∴m⩾23， 答：第一次降价后至少要售出该种商品2323件． 【类型三】面积问题 判断清楚要设什么是关键 【分析】 【总结】 【方法1】为直接设元，【方法2】为间接设元，虽然间接设元不能直接得到所要求的量，但是由于有时这种设元列方程简单或计算简单，所以同学们应多积累，多总结，并灵活掌握。 |
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