名师系列 | 浅析数学竞赛中的抽象函数方程问题

作者简介：

任小平，任教于四川省西充中学，中学高级教师，特级教师，四川省骨干教师、优秀班主任，南充市模范班主任，多次荣获高考数学科一等奖。

 一、 前言  

对于抽象函数及其函数方程问题的解答， 其关键在于捕捉题目的信息特征， 发现解决问题的突破口，寻求合理、简洁的解题方法，达到化繁为简、化难为易的目的。

  二、例题分析  

抽象函数及其函数方程问题越来越多地受到命题者的青睐，不仅要求对函数的本质有着深刻的理解，而且解题方法灵活多变，求解技巧性强 ，同时涉及的范围较广，对学生掌握所学知识之间的内在联系要求较高。对学生的数学素养提出了较高要求，因此是数学竞赛的热点和难点。本文归纳了一些求解抽象函数的方法和技巧，以达到抛砖引玉的目的。

题型一:

巧取特殊值，求解函数解析式

对于多个变量的抽象函数方程，可将其中的某个变量视为主元，进行恰当的赋值，形成“关系链”，从而简化运算，达到特殊引路，探求一般规律的目的和效果。

例1:2011印度奥林匹克

数学第六感

        

评注：巧取特殊值，简化运算，形成“关系链”，起到了“特殊探路把门敲，化繁为简层次高”的效果，从而优化解题技巧。

题型二:

巧构结构式，求解函数解析式

对于一些多变量的抽象函数方程，当变量的取值范围对等时，往往可以通过变换变量的位置，将隐含的结构关系式外显化，然后通过外显的结构特征和性质，使问题得以转化 ，达到解决问题的目的。

例2:2004年高中联合竞赛

数学第六感

评注：在解一些抽象函数方程、方程组时，通过变换、转化，将内在的信息特征外显化，发现可用于构造的因素，引入新的形式，借助新形式的性质，使复杂的运算和推证变得容易处理，使问题变得清晰可解。

题型三:巧用换元法，求解函数解析式

对于一些结构复杂的函数方程，利用变量代换的方法，将抽象的函数方程式转化为新变量形式， 以整体形式代入，转化为各字母的方程组形式，从而解出具体的函数解析式。

例3:第12届韩国奥林匹克

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评注：通过代换，形成新的关系，将产生新的表达式看成整体，得到一个或几个新的函数方程，再将它们与原方程组联立，转化为方程组问题，降低问题的难度和维度，转化问题，使问题获解。

题型四:

利用不动点，求解函数解

析式

在数学中，不动点定理是指函数f（x）在某种特定情况下，至少有一个不动点存在，即至少有一个点x，能使f（x）=x。通过研究函数不动点的性质， 使问题获解，达到解题的目的。

例4:2007年高联河南预赛

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例5:第35届IMO

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评注：通过将讨论的变量限定在一定的范围内，获得熟悉的函数结构，再通过探求不动点，研究不动点的性质，利用不动点的性质将使问题得以巧妙解决。

题型五:利用函数奇偶性，求解函数解析式

对于一些复杂的函数方程，此类函数方程中往往包含着奇函数或者偶函数。而利用奇偶函数的特性，适当地选取值带入方程，将问题转换为方程组问题。

例6:2006年高中联赛

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评注：利用函数的奇偶性，适当地选取特殊值，代入方程，达到将复杂方程简化的目的。

题型六:利用待定系数，求解函数解析式

对于一些所求函数是多项式的情况，往往通过待定系数的方法，求解方程组，求出多项式的系数，从而求出解析式。

例7:1990年CMO

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评注：此方法适用于所求函数式是多项式的情况。首先根据题意确定多项式的次数，再设出多项式的一般表示形式，再利用恒等式的形式 ，结合待定系数法，列出方程组，求解方程组，求出待定系数的值，从而求出函数的解析式。

题型七:利用递归，求解函数解析式

递归法 是数列 中常 见 的 一 种 方法，而数列和函数之间又存在着紧密联系， 因此将递归法迁移到函数中来，也是求函数解析式的一个重要的方法。

例8：2005年上海高中联赛

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评注：此方法是一种借助数列来研究函数方程的方法． 利用数列中常用的递归方法对函数进行递归，若已知初始值和递推关系，则可用递归解决函数解析式问题。

题型八:利用柯西法，求解函数解析式

此类方法是柯西最早研究的，因此叫作柯西法，此类方程就叫作柯西函数方程。这种解法的每一步都是后面推理的基础，因此又被形象地叫作爬坡式推理法。

例9：2013年高中联赛

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评注：相比于其他方法，此类方法的技巧性较强，而这种爬坡式的方法在其他地方运用得也相当广泛。有许多的其他方程，都可以适当地转换为柯西函数方程，从而获得解答。

  三、结束语  

数学竞赛试题因其内容的广泛性与深刻性，其解答包含着丰富的数学思想、方法。而恰当的思想、方法较大程度上来源于对试题信息以及所涉及知识的内在联系的准确把握上，因此，在数学竞赛培训过程中，加强学生对试题结构的分析及问题本质的把握训练，有利于进一步揭示数学的本质。开发学生的智力， 拓宽学生数学视野． 加强学生对不同题型进行自主探究、分析提炼、合作交流、抽象概括的训练，有利于激发学生探索与创新精神，培养学生顽强的意志品质和严谨的数学思维。

来源：微信公众号：数学第六感