名师系列 | 妙用均值不等式的八类配凑方法

作者简介：

林明成，中学数学教师，任教于四川省苍溪中学，主要研究高考试题，高中数学课堂教学，累计发文一百多篇。

注：本文节选自《中学数学研究》2009年第6期。

 试题分析

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行配凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种配凑方法。笔者把运用均值不等式的配凑方法概括为八类。

题型一:

配凑定和

通过因式分解、纳入根号内、升幂等于段，变为 “积” 的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数， 配凑定和，求积的最大值。

例题01

数学第六感

评注：通过因式分解，将函数解析式由 “ 和” 的形式，变为“积” 的形式，然后利用隐含的“定和” 关系，求“积” 的最大值。

例题02

数学第六感

评注：将函数式中根号外的正变数移进根号内的目的是集中变元，为“配凑定和” 创造条件。

例题03

数学第六感

题型二:

配凑定积

通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和” 的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。

例题04

数学第六感

评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后配凑定积”，往往是十分方便的。

例题05

数学第六感

评注：有关分式的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“配凑定积” 。

例题06

数学第六感

评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出利用均值不等式的环境。

题型三:配凑常数降幂

例题07

数学第六感

评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简捷明了。

例题08

数学第六感

例题09

数学第六感

题型四:

配凑常数升幂

例题10

数学第六感

例题11

数学第六感

题型五:约分配凑

通过“1 ” 变换或添项进行配凑，使分母能约去或分子能降次。

例题12

数学第六感

例题13

数学第六感

例题14

数学第六感

题型六:

引入参数配凑

某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”和“ 定” 的条件，建立方程组，解得待定系数，可开辟解题捷径。

例题15

数学第六感

题型七:引入对偶式配凑

根据己知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后 一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。

例题16

数学第六感

评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。

题型八:确立主元配凑

在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式。

例题17

数学第六感

评注：变形后选择A 为主元，先把A看作常量， C看作变量，把B 、 C这两个变量集中到cos(B-C)，然后利用cos(B-C)的最大值为1，将其 整体消 元，最后再回到A这个主元，变中求定。

  结束语  

本文许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解这种运用等号成立条件的配凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学生思维，培养了学生的数学能力。

  附 言 

诚请数学教师、教研员和数学爱好者不吝赐稿