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（一） （1）上面的系列变式题（征解题）最先收到了浙江宁波丁峰老师的对南通海安2019届上学期期末考试题第14题（以下简称“南通海安题目”）的解答： 评注：丁峰老师对目标式分子变成x^2和y^2然后对分母放缩成常数4和3，放缩后恰好可以用已知的椭圆条件等式。为此，只需将待求式的两个分式的分子分母分别同乘以x或y即可得到x^2和y^2，然后对两个分母用二维均值不等式ab≤(a+b)2/4，得到两个分母的最大值分别为4和3．
（2）然后丁老师接着解答第1道-第3道征解题： 评注：有了解决上面的“南通海安题目”的经验，丁老师将第1题-第3题的待求式的所有分式的分子的常数都换掉，变成只含x的正比例函数（即将分子的常数换掉，通过减去一个合理的常数，使分子变成形如kx的式子），从而和“南通海安题目”的形式完全一样。但第1题-第3题丁老师未给出取等号的条件，读者可在后文的解答里找到取等号的条件。 所以，丁老师的“转化与化归”数学思想用的好呀（即将不熟悉的问题转化成熟悉的问题，将没解决的问题转化成已经解决了的问题）！ （3）这样似乎就破译了原命题人的郭航老师的所有题目的解题密码而没有一点变化吗？答案是否定的，请看下面的第4题： 思考1：在第4题方法一中，丁老师为何不像第1题-第3题一样如法炮制呢（即将分子的常数换掉，通过减去一个合理的常数，使分子变成形如kx的式子）？而是将待求式的第一个分式的分子分母同乘以x^2，第一个分式的分母使用三维均值不等式abc≤(a+b+c)3/27；但第二个分式的技术手段还是像第1题-第3题一样如法炮制（即将分子的常数换掉，通过减去一个合理的常数75/10=15/2，使分子变成形如ky的式子，然后再分子分母同乘以y或my），这个疑问留给读者思考。也就是说第4题的方法一中待求式的第一个分式产生了基因突变，而第二个分式仍然维持原方法。 思考2：在第4题方法二中，对第一个分式再次产生变异，采用了配均值的方法（其结果得到了与已知条件相关的x^2，但同时产生了杂质x^3和x^4）；对第二个分式仍然维持原方法（得到了与已知条件相关的y^2，再利用已知条件转化为含x^2的式子），最后放缩得到了下面的函数f(x)： 而函数f(x)的最小值求导数是可以轻易得到的，不过丁老师没有这样做，仍然用了和方法一本质上一样的三维不等式求得最小值（先提公因式x^2）。大致不少不等式爱好者们都喜爱首选用几个著名不等式的定理来求最值吧（尽管想到了导数方法，但因导数方法技术含量低而弃用）。 （4）下面是丁峰老师对第5题的解答： 评注：丁老师处理手法就和第4题的方法一是一样的，也就是将待求式的第一个分式的分子分母同乘以x^2，第一个分式的分母使用三维均值不等式abc≤(a+b+c)3/27；但第二个分式的技术手段还是像第1题-第3题一样如法炮制，即将分子的常数换掉，通过减去一个合理的常数，使分子变成形如ky的式子，然后再分子分母同乘以y或my。也就是说第4题的方法一中待求式的第一个分式产生了基因突变，而第二个分式仍然维持原方法。 （5）下面是丁老师对第6题的解答： 评注：第一个分式的变形手段还是像第1题-第3题一样类似处理，即将待求式的两个分式的分子的常数729和256消掉，分别减去一个合理的常数729/9=81或256/8=32（但要将81和32=113加回来），使分子变成形如kx或my的式子，然后两个分式的分子分母同再分别乘以x^2或y^3即可（然后对两个分式的分母分别用三维和四维均值不等式求出分母的最大值）。 评注：对于第7题，丁老师对待求式的第一个分式的分子分母直接乘以x^3，即可得到条件的x^3；而对第二个分式却先减去一个常数40/5=8(这样可得到分子只含形如ky的式子，然后再分子分母分别乘以y^4，即可得到条件的y^5！ 看来上述两种手段要么分别用，要么联合用，具体情况具体分析而已。 评注：对于第8题，已知条件的次数不同次，待求式也变成了三个分式，尽管题目看起来很难，但命题者郭航老师通过第1题到第7题的搭台阶作铺垫，已经显得没那么难了，相信读者能看出来怎么做了。 在第8题中，丁老师对待求式的第一个分式减去250/10=25（再分子分母乘以x，即可得到条件的x^2）；对第二个分式先减去243/18=27/2(再分子分母乘以y^2，即可得到条件的y^3；而对第三个分式的分子分母直接乘以z^3，即可得到条件的z^3． 至此为止，浙江宁波丁峰老师解答完了全部题目（包括1道南通海安题和8道变式征解题，而且是word版，题目中的公式使用了“域”）。 （二） 关于文首“南通海安题”的解答，还收到了陕西省武功县教育局教研室李歆老师的另解（连用两次柯西不等式）： 评注：此题用柯西不等式应该有不少人尝试过，但都不是很好解答（甚至出现错解，即不等式方向弄反了）。 李歆老师采用了两次柯西不等式（第一次用权方和不等式得出x+2y的最大值为8，其实改用标准的柯西不等式来做，则参加高考的普通学生更易看懂些；第二次也用了权方和不等式后又出现了含x+2y的式子和含已知的椭圆条件的式子，感觉很巧吗？事实上这可以用待定系数法得到）。 但李老师没有证明x+2y>4（可以用三角换元或线性规划证明或不等式放缩证明），也没有证明最后一步函数的单调递减性（或许太简单了吧），下面“解题君”重新将李老师的过程补充完整： 另外，也收到了些错解（主要是感觉比较典型，为了告诫后来者才贴出来的）： 错解一：用了均值不等式和判别式法，遗憾的是最后一步不等式方向搞反了，功亏一篑）：
错解二（最后一步把不等式方向搞反了，功亏一篑）：
（三） 还收到了广东省广州市执信中学朱清波老师的解答（有些题的方法和丁峰老师解法基本一致，但朱老师的解答要详细些，学生更容易看懂，所以也一并贴出来）：
评注：下面对题目1的错误解答也是最后一步把不等式方向搞反了，功亏一篑！
继续看朱清波老师的解答：
（四） 上期已经登载出命题人河北保定郭航老师的文章的前部分，现在把郭老师的文中和文末部分一并贴出，让我们一起经历一下郭老师命制出上面的征解题的思维探索过程和思考：
想了很多放缩的方法，就是做不出来，最后只能回到求导上来。 首先我进行了又一个代换（万能公式）：
注：这是上期登载的郭航老师的文章的前部分，下面继续郭航老师的后面部分的探索和思考的文章：
至此命题人郭老师的思维探索过程的文章全部登载完毕，亲爱的读者，郭老师的命题思路和你的想法一致吗？ 评注：郭老师提到的如下简单解答，“解题君”找到了类似的放缩法：
一些题目的类似放缩法（放缩后的式子和条件吻合）： 第一道：
第二道：
第三道（2010年浙江大学自主招生的不等式题）：
（五） 命题人郭航老师说，征解题1,2,3是一个类型，4,5是一个类型，6是一个类型，7是一个类型，8是三元不等式。 看来这些不等式应该是属于不同类型，但广州网友“kuing”却说： “照我看，它们全是同一类型，就是“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型（有空得想个简称才行）。对这种类型的题，我当然也还是那句：用任意方法暴力算出取等条件（或目测出或蒙出或机器出取等条件），然后凑出各种不同的看起来很牛X解题过程（话说这方面……，此处省略十数个无关紧要的字）。 由于题目太多而且类型相同，因此我就用同一招好了，……（此处省略十数个无关紧要的字）。” 下面是kuing对征解题1-8的解答：
评注：第1题kuing将8/(4-x)放缩成2+x2/2，和前面的丁峰老师和朱清波老师用均值不等式放缩的结果是一致的，只是kuing用了作差配方证明而已。其余放缩请读者自行研究，下面继续kuing的解答：
评注：大概看得出kuing都是用的切线法的思想，先对高次幂换元，弄出切线后得到局部不等式（又把高次幂还原回来），然后用作差配方法证明（好比是小李飞刀，一刀制敌，却不知道飞刀是从哪里发出的），两个局部不等式相加即得结果（第8题是3个局部不等式）。 在上面“解题君”是私自揣测kuing的想法的，不知他是否真是这样想的？另外，不知读者注意到没有，有的放缩切线为正比例函数（此时无需加减常数），有的放缩切线却是一次函数（此时需要加减常数）。 先前也和命题人郭航老师也探讨过这些题都是同一类型（切线法思路），基于此，郭老师有点想撤回本期征解题。但“解题君”看到郭老师在命制题目中二维或三维均值不等式的应用，也觉得很不错。 事实上，前面丁峰老师、朱清波老师等人的解答也看出这些征解题也是出的挺好的，这些题用于命制平时学生的考题也是相当有趣的，这才打消郭老师撤回本期征解题的想法。 （六） 这是本公众号在农历2019年的第1期，怎么能没有贺岁题呢？这不，kuing就命制了一道贺岁题：
评注：可以看出此“贺岁题”和文首的征解题有一些区别，第一个区别是待求式的分母未知数前的字母变成加号了，而文首郭航老师的征解题的分母未知数前的字母全是减号！第二个区别是所有字母不再要求是正实数了！ 读者朋友们，如果你做出了，请将解答发到“解题君”的QQ邮箱1933725911@qq.com，下期将会登载你的解答.  最后感谢命题人郭航老师，以及前面各位老师和网友提供的精彩解答！ 还要感谢他们帮忙审了一些稿件（毕竟本期题目数量较多，解法也多，工作量巨大呀）！ 以下是下期题目的征解题，每题的第一个正确解答者将获得QQ红包10元，共计20元，在解答登载出后一天内由“解题君”代发。 如果有第二个或第三个解答者的解答很新颖或者有创意，征得命题人赵振华老师同意后，有机会和第一位解答者按一定比例共享10元红包（但红包额不会超过第一位解答者）：
请爱好者们做一做上面的题目，把你的解答输入到word里（其中数学公式部分请用公式编辑器，如能够得到一些结论、推广或者背景，则更好），然后将word文件传给“解题君”的QQ号1933725911（先加好友），不在线的话，用离线传送．还可以把解答发到“解题君”的QQ邮箱1933725911@qq.com，你的解答将在本公众号下期发表（届时会署上你的名字、省份、单位、学校等信息） |
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