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二次函数中，确定二次函数的最值问题，是考试中常考的知识点，并且很多时候甚至会作为考试的压轴题出现，而由于很多问题中，自变量的取值范围是隐含在题目中的，让很多同学对于这样的题目在解答过程中，经常会出现错误，今天我和同学们一起学习确定二次函数的最值的方法，而在解题过程中，切勿忽略自变量的取值范围，否则经常会出错。  确定二次函数的最值的方法：(1)、当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处取得最值。即当x=-b/2a时，y最值=（4ac-b²）/4a，当a>0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；当a<0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值。 (2)、当自变量的取值范围是x₁≤x≤x₂时，①若x=-b/2a,在自变量的取值范围x₁≤x≤x₂内，最大值与最小值同时存在，如下图①、②所示，当a>0时，最小值在x=-b/2a处取得，最大值为函数在x=x₁,x=x₂时的较大的函数值；当a<0时，最大值在x=-b/2a处取得，最小值为函数在x=x₁,x=x₂时的较小的函数值；②若x=-b/2a不在自变量的取值范围x₁≤x≤x₂内，最大值和最小值同时存在，且函数在x=x₁,x=x₂时的函数值中，较大的是最大值，较小的为最小值。如下图③所示。  例题1：已知二次函数y=-2x²-4x+1 当-3≤x≤0时，求它的最大值与最小值。 解析：对于一般的二次函数来说，自变量的取值范围通常是没有限制的，但是当题目中出现自变量的取值范围有限制时，用根据自变量的限制画图，再由图像确定最值。而如果没有弄清对称轴是否自变量的取值范围内，那么非常容易出现错误。因此本题当x=-3时，y最小=-5，x=-1时，y最大=3。 例题2：已知二次函数y=ax²+bx的图像经过点A（2,4）和B（6，0）。（1）求a,b的值。（2）求该二次函数的图像的顶点坐标。（3）C是该二次函数的图像上A,B两点之间的一个动点，点C的横坐标为x，写出四边形OBCA的面S关于C的横坐标x的函数解析式，并求出S最大值。  解析：本题中第一问考察的待定系数法求二次函数的解析式，列出关于a,b的二元一次方程组，解出a，b值；第二问中，求顶点坐标，可以直接代入顶点坐标的公式，即可写出来。关键是第三问中，首先关于不规则图形面积的求解，尤其是在平面直角坐标系中，将不规则的图形，分割成几部分规则的图形，例如三角形，矩形，梯形等，在分割的时候，三角形最好是直角三角形，便于求解面积，然后将分割成的几个图形的面积相加，就是原图形的面积。求出面积关于x的解析式后，求最大值，根据上面讲述的方法，确定好x的取值范围，求解即可。  希望同学们认真领会最值问题，这只是比较基础的求最值问题，希望同学们结合例题，掌握解题方法，也千万要记住自变量的取值范围也是非常重要的，加油。 |
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