初中数学：绝对式和的最小值，掌握方法，秒出答案

初中生学了绝对值后，会经常遇到一个类型题，求一个式子绝对值的最小值。形如│x-a│，因当x无限大时，式子的绝对值也无限大，而绝对值是一个非负数，所以式子的绝对值最小为0，此时，x=a。所以，绝对值的最小值是经常考察的一个知识点。接下我们就总结一下绝对值最小值的类型题。

一、求绝对式和的最小值

首先我们要了解绝对值的几何含义。一个数的绝对值表示这个数在数轴上到原点的距离。两个数差的绝对值表示两个数在数轴上间的距离。计算方法是大数减小数。

绝对值的几何含义

若a<0, b>0,且│a│<│ b│,有:

│a│=0-a =-a, │ b│=b-0=b，│b-a│=b-a, │a-b│=b-a。

形如│a+b│，我们可以看作为│a+b│=│a-(-b)│=a-(-b)=a+b。即遇到相加的形式，写成减的形式,构造绝对值的几何意义。

1、两个绝对式的和

形如│x-a│+│x-b│，（a>b）求它的最小值。

（1）当x在b的左边时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段xa长>线段ab长。

（2）当x在b上时，│x-a│+│x-b│=0+线段ab长=线段ab长。

（3）当x在a,b之间时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段ax长=ab长。

（4）当x在a上时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+0=线段ab长。

（5）当x在a的右边时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段xa长>线段ab长。

通过上面分析，可知当b≤x≤a时，│x-a│+│x-b│有最小值，为线段ab长=a-b。

练习

│x-3│+│x-8│=8-3=5 │x-3│+│x+8│=3-（-8）=11

2、三个绝对式的和

形如│x-a│+│x-b│+│x-c│，（a>b>c）,求它的最小值。

上面分析，我们已经知道│x-a│+│x-c│有最小值，为a-c，那么只需确定│x-b│的最小值就可以了，当且仅当x=b时，│x-b│最小为0。所以，当且仅当x=b时，│x-a│+│x-b│+│x-c│有最小值，最小值为a-c。

练习

│x-5│+│x-8│+│x-10│=10-5=5。

3、四个绝对式的和

形如│x-a│+│x-b│+│x-c│+│x-d│，（a>b>c>d）,求它的最小值。

综上分析，我们可知│x-a│+│x-d│有最小值为a-d，│x-b│+│x-c│有最小值为b-c。所以

│x-a│+│x-b│+│x-c│+│x-d│的最小值就为a-d+b-c=a+b-c-d。

5、五个绝对式的值

形如│x-a│+│x-b│+│x-c│+│x-d│+│x-e│，（a>b>c>d>e）,求它的最小值。

综上分析，我们可知│x-a│+│x-e│有最小值为a-e，│x-b│+│x-d│有最小值为b-d,现在只需使│x-c│最小即可。由此可知当且仅当x=c时，│x-a│+│x-b│+│x-c│+│x-d│+│x-e│有最小值，为a-e+b-d=a+b-e-d。

通过以上分析，我们可以得出形如│x-a│+│x-b│+│x-c│+│x-d│+......的最小值的求解方法。

（1）将每个绝对式的形式写成│x-a│的形式。

（2）将各个数它按从大到小排列（从小到大也可以）。

（3）若绝对式的个数是偶数个，可以将数按排列顺序分成相等的两部，用前面数的和，减去后面数的和，就是所求结果。

（4）若绝对式的个数是奇数个，将数按最中间的数为分界点，前面的数分为一部分，后面的数分为一部分，用前面数的后，减去后面数的后，就是所求结果。

练习

│x+2│+│x-3│+│x+5│+│x+7│+│x-1│+│x+4│+│x-7│

│x+1│+│x-2│+│x+3│+│x-4│+│x+57││x-6│+│x+7│+│x-8│

二、知道绝对式有最小值，反求x的值或取值范围。

形如│x-a│+│x-b│+│x-c│+│x-d│+......有最小值，求x的取值范围或值。

根据以上分析，我们可以得出结论：

（1）若绝对式的个数是偶数个，那么x有一个取值范围，就是最中间两个数（含这两个数）之间。

（2）若绝对式的个数是奇数个，那么x有一个确定的值，就是最中间那个数。

练习

│x+2│+│x-3│+│x+5│+│x-7│有最小值，求x的取值范围。

7，3，-2，-5，那么-2≤x≤3。

好了，关于绝对式的和就讲到这里。喜欢的朋友可以关注我哦。有关初中数学的问题都可以免费咨询哦。