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—— 一半数学家一半哲学家的弗雷格（上） 并不是每一个伟大的科学家生前都被公众认识和认可，就像很多伟大的文学艺术家生前是默默无闻的一样。德国数学家、逻辑学家和哲学家、数理逻辑和分析哲学的奠基人弗里德里希·路德维希·戈特洛布·弗雷格就是这样一位人物。他的一句名言是，“一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好的哲学家，至少是半个数学家。”不幸的是，在他的生前，他数学中的哲学不被当时的哲学家们认可，他哲学中的数学又不被当时的数学家们重视。 弗雷格1848年出生在德国沿海的威斯马城。他的父亲是一所女子中学的创办人和校长，曾经还写过一本中学德文教科书，书的第一章是讲语言的结构和逻辑。这无疑对小弗雷格后来从事的研究有着潜移默化的影响。1869年，母亲送弗雷格到耶拿大学就读。当时弗雷格对数学的兴趣最大，但也选修了化学、物理和哲学。他的老师，一位物理学家和光学家阿贝，发现了他的才能，在教授他知识的同时，也和弗雷格发展起了深厚的友谊，成为弗雷格毕生信念的支持者。 在阿贝的帮助下，弗雷格离开耶拿，来到哥丁根大学这个当时是世界数学中心的学府继续深造。在那里他受到了多位大师们的指点和影响，其中著名哲学家洛采的逻辑观念，特别是他对纯逻辑的看法，对弗雷格逻辑思想的形成产生了重要的影响。1873年，在数学家谢林的指导下，弗雷格以论文“论平面上虚影的几何图形”获得了数学哲学博士学位。获得博士学位之后，他又回到耶拿大学。在阿贝的推荐下，在耶拿大学执教40余年，讲授过数学的各分支学科及有关的逻辑系统，致力于数学基础、数学哲学和逻辑理论的研究，直到退休。 弗雷格主要从事纯逻辑的研究。在用数学方法研究逻辑问题上，当年莱布尼兹就想创造一个理论解决一切问题。莱布尼茨设想把逻辑学用数学符号表示，以后每逢争论，拿支笔一算就见分晓了。事实证明，莱布尼茨的对符号逻辑的建立起了很大作用。但莱布尼茨的这种先驱性想法没有及时得到应有的发展。一个世纪以后，19世纪英国的两位数学家德摩根和布尔用代数的方法建立了逻辑代数。弗雷格深入研究了这些先辈们的思想，从中逐渐形成了自己的理论。1879年，他的代表作《概念演算——一种按算术语言构成的思维符号语言》发表了。他后来这样描述自己的研究动机，“我开始是搞数学。在我看来，这门科学急需更好的基础；…… 语言逻辑的不完善对这种研究是一种障碍，我在《概念演算》中寻求弥补。所以，我就从数学转向了逻辑。” 这本不足80页的小书标志了逻辑学史的转折， 概念文字开辟了新的领域。书的完整标题把它标识为“模仿算术的纯思维的形式语言”。它无可争议的成为自亚里士多德之后在逻辑学领域最重要的出版物。弗雷格开发他的形式逻辑系统的动机和当年莱布尼兹对演算推论器的渴望是一样的。莱布尼兹当年没有做到，弗雷格今天完成了。 弗雷格认为，真理应分为两种，一种真理的证明必须以经验事实为根据，例如物理学中的定理；另一种真理的证明似乎可以纯粹从逻辑规律出发。他认为算术命题就是属于后一种。在探讨如何根据思维的逻辑规律经过推理以得到算术命题时，必须绝对严格，要防止未被查觉的直观因素的渗入，因此必须使推理过程没有漏洞。他觉得日常语言是表达严密思想的障碍。当所表达的关系越复杂时，日常语言就越不能满足要求。因此他创造了这种概念语言。他说，用这种语言进行推理，最有利于觉察隐含的前提和有漏洞的步骤。 不幸的是，弗雷格这本划时代的小册子出版以后竟然无人问津。他在《概念演算》中建立的新逻辑没有人能理解。其中使用复杂而陌生的符号来表达新奇的概念，更是让读者望而却步。德国数学家施罗德甚至发表长篇文章，对该书进行了全面批评。直到罗素在1901年才开始发现弗雷格著作的价值。 科学的人生常常就是这样残酷和孤独。弗雷格由于自己的著作没有受到重视而大受打击，很长一段时间再也没有发表任何作品。但这也使他重新思考和深刻挖掘自己的哲学和数学观点，并逐渐形成了他的数学哲学的三个主要原则：第一，他反对在数学基础问题上的经验主义，否认数学来源的经验基础，强调数学真理的先天性；第二，他认为数学真理是客观的，这种客观性基于数学的非经验的基础。在他看来，客观性是思想的必要条件；第三，他主张一切数学最终都可化归为逻辑，数学概念可以定义为逻辑普遍要求的概念，数学公理可以从逻辑原则中得到证明。这三条原则后来被罗素作为逻辑主义的基本主张而广为传播，弗雷格因此成为逻辑主义的创始人之一。 他还考察了从欧几里得到康托尔以来的许多数学家的著作，发现关于数的定义是相当混乱的。他认为一切关于数的定义都含有基本的逻辑错误。他指出，“数是什么？这是一个最根本的问题。如果我们对这个问题都不能做清楚的回答，岂不是一个笑话？”他认为“数学的本质就在于，一切能证明的都要证明，而不是通过归纳法来验证。因此，我们也应考虑如何来证明关于正整数的命题。” |
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