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图1. Blowhole at Kiama. 人生最大的幸运莫过于在懵懂无知的时候遇到一位学识渊博、目光深远的导师，在导师的帮助下塑造价值体系，完善知识结构，提升学术品味，特别是确定长久的研究方向。老顾就是这样一个幸运儿：二十五年之前，老顾刚刚开始研究生的学习生涯，和丘成桐先生的首次见面时，丘先生就建议老顾研习蒙日-安培方程，并把自己的研究手稿交给老顾。那个时候，老顾的学识水平有限，又处于青春叛逆期，主观上看不到如此复杂的数学理论会被应用于起步不久的计算机科学之中。因此在整个博士期间，老顾并没有将蒙日-安培方程理论纳入研究范围之内。 二十五年之后，老顾的看法完全改变，对丘先生的高瞻远瞩愈发钦佩。物理和几何的自然规律由偏微分方程的语言所表达，对于自然现象的模拟仿真等价于求解偏微分方程。计算机科学的发展必然要应用偏微分方程理论，由简单到复杂，由线性到非线性，这是历史的必然。纵观整个计算机领域，几年前所有的几何算法几乎都是基于线性的拉普拉斯方程，例如曲面Laplace-Beltrami算子的谱被作为“形状指纹”，被广泛应用于工程的几乎所有领域。这些算法本质上是基于丘先生和郑绍远先生早年黎曼流形的谱理论，以及其延伸黎曼流形的“热核”理论。“水平集”（level set）方法，更是将微分方程方法、特别是流体方程直接应用于图像处理领域。近些年来，依随医学图像技术、无线通讯技术、3D 打印技术、VR/AR技术，特别是深度学习技术的飞速发展，以蒙日-安培方程为代表的非线性偏微分方程理论开始广泛应用于计算机科学和其他工程领域。 老顾所在团队的研究也是基于这一历史发展脉络：早期发展的全纯微分算法，用于计算黎曼面上的微分形式，是基于线性的几何泊松偏微分方程；后来发展的Ricci流算法，用于从曲率构造黎曼度量，是非线性流方法；近期发展的蒙日-安培方程凸几何算法，用于计算概率分布之间的变换，和从曲率构造等距嵌入，是基于强烈非线性的Alexandrov方法。这些算法的编程难度和算法掌控难度也是依次增加的。可贵的回报是难得的精准结果。 蒙日-安培方程
. 即便在基础数学领域，由于其强烈的非线性，和高度的技巧性，蒙日-安培方程理论研究一直处于曲高和寡的境地。蒙日-安培方程和几何问题密切相关，这意味着自然界中的大多数几何问题本质上是非线性的。例如闵可夫斯基（Minkowski）问题，给定凸曲面定义在法向量上的高斯曲率，如何重建曲面；Weyl问题，如何实现带有黎曼度量曲面的局部等距嵌入；仿射几何中的仿射球和仿射极大曲面问题。在几何光学中，蒙日-安培方程同时也是解决反射曲面、折射透镜的设计问题的关键。在经济理论和概率统计中，最优传输（Optimal Mass Transportation）理论的基础也是蒙日-安培方程。 近几年来，依随深度学习技术爆炸式发展，最优传输理论成为计算机科学领域的热门，蒙日-安培方程理论开始实质性地渗入计算机科学的中心腹地。由此，我们觉得从最优传输观点入手来理解蒙日-安培方程，最合时宜。最优传输问题的直观理解如下：考察一个国家具有疆域，其粮食的生产率为，消费率为，从产地
这样的映射被称为是最优传输映射，最优传输映射的总代价被称为是概率分布和之间的Wasserstein距离。 当传输代价函数为欧式距离的平方时，
蒙日-安培方程理论研究解的存在性、唯一性和正则性（光滑性），这些性质强烈地依赖于的凸性，其边界的光滑性，概率密度函数和的光滑性，代价函数 历史上，法国学派、俄罗斯学派和中国学派都为蒙日-安培方程做出了杰出的贡献。 简要历史回顾 法国传统 自拿破仑制定将数学作为立国之本的国策以降，法国建立了悠久的数学传统。法国文化中给予数学家崇高的社会地位。法国数学家更是群星璀璨，交映生辉。 最优传输问题最早由法国数学家蒙日于1781年提出，蒙日和安培开始了这一理论方向。在巴黎有一站地铁，以蒙日来命名，以彰显他的数学贡献。在里昂古城，有一条街以安培来命名。里昂位于罗纳河和索恩河交汇处，风光旖旎，历史悠久，留有古罗马遗迹，也是丝绸之路的终点。里昂经济发达，人文荟萃。1980年代，Brenier将最优传输和蒙日-安培方程的关系进一步阐发，其学生维拉尼（Cedric Villani）将最优传输理论应用于微分几何和统计物理，特别是对非线性朗道阻尼的证明以及对玻尔兹曼方程收敛至平衡态的研究，获得2010年度Fields奖。Villani的工作就是在里昂完成。Villani的学生Alessio Figalli研究最优传输映射的正则性理论以及和蒙日-安培方程的内在联系，特别是蒙日-安培方程解的二阶导数 目前，维拉尼是法国政界炙手可热的人物，在科技政策制定方面权倾朝野。不久前，他说服总统马克龙为人工智能的发展豪掷15亿欧元。这项政策极大地推动了最优传输理论的发展应用，从而引发了蒙日-安培方程的研究热潮。 俄罗斯传统 法国皇家曾经悬赏解决最优传输问题。在1940年代，俄罗斯数学家Kantorovich通过将最优传输映射放宽成最优传输方案，即将映射转换成联合概率分布，将最优传输问题变形成线性规划问题，从而证明了解的存在性，
由此，Kantorovich获得了1975年诺贝尔经济奖。Kantorovich的公式等价于其对偶形式，
目前，深度学习领域中绝大多数的工作都是基于Kantorovich的对偶形式进行优化。
图2. Alexandrov问题。 蒙日-安培方程解的存在性证明最先由Alexandrov给出。Alexandrov问题和Minkowksi问题类似，其离散提法如下：给定凸多面体每一个面的面积和法向量，确定凸多面体。其实，Alexandrov凸多面体就是Brenier势能函数，Alexandrov的几何提法更加直观。目前，在计算机图形学、计算机视觉和几何建模等领域，最优传输问题的算法都是基于Alexandrov几何提法。另外，Pogorelov也给出蒙日-安培方程的正则性估计。 美国学派的Levy，Nirenberg， Calabi， Caffarelli等人也都为蒙日-安培方程的理论做出过杰出贡献。 中国传统 在丘成桐先生的带领下，中国数学家在蒙日-安培方程理论领域，做出了杰出的贡献。丘先生在1970年代应用复的蒙日-安培方程理论证明了卡拉比猜想，肯定了卡拉比-丘空间的存在性。数十年后，为了统一广义相对论和量子力学，理论物理学家发展了超弦理论。超弦理论中的宇宙每一点上都有一个卡拉比-丘空间作为纤维，这一空间的拓扑几何性质决定了宇宙本源。 1990年，丘先生提出了100个公开问题，它们覆盖了极为广泛的专题，从微分几何、复几何到代数几何。其中第21个问题明确提出了反射曲面设计和最优传输映射以及蒙日-安培方程的关系。在1982年，丘成桐先生由于其在微分方程、代数几何中的卡拉比猜想、广义相对论中的正质量猜想以及实和复的蒙日-安培方程等领域里所在的杰出贡献，荣获菲尔兹奖。 丘先生极大地推动力蒙日-安培方程理论的发展，他不遗余力地号召中国数学家投身到这一领域之中。很多中国数学家都受到丘先生的感召，为蒙日-安培正则性理论作出了杰出的贡献。例如澳大利亚院士汪徐家教授，与合作者给出了Ma-Trudinger-Wang条件，来限定密度函数，传输代价和概率测度支集的几何性质，从而保证最优传输映射的光滑性；再如，汪教授厘清了反射曲面设计、自由曲面透镜设计等价于球面上的最优传输问题，也等价于球面上的蒙日-安培方程。由于这些数学家坚持不懈的努力，近些年来，在蒙日-安培方程领域，大批的华裔青年才俊正在成长，很多佼佼者开始初露锋芒。 人间天堂 2019年8月19-23号，汪徐家院士和他的高足刘佳堃教授、同事Neil Trudinger教授在澳大利亚的Kiama组织了一次蒙日-安培方程的学术会议，同时庆祝John Urbas教授的六十诞辰。会议邀请了大约四十名国际知名的专家学者，涵盖基础理论、数值计算和应用领域。大家从世界各地赶来，在宛若“失去的天堂”般的Kiama，进行了为期一周的热烈研讨。
图3. 失落的天堂 - Kiama。 澳大利亚地广人稀，原生态的自然环境纯净质朴。Kiama又是澳大利亚著名的旅游胜地，海水从蔚蓝到翠绿，清澈见底。大家就住在岸边小屋之内，可谓面朝大海，春暖花开。夜晚，窗外波涛汹涌，惊涛拍岸，抬头皓月当空，银河璀璨；黎明，波澜不兴，海天一色，喷薄日出。澳大利亚的生态中除了人类，缺乏顶级掠食者，野生动物不必追求嗜血暴力，而是沿着相对和平的途径进行演化。因此，这里发展出很多原始而又温和的物种，例如各种有袋类动物，袋鼠、树袋熊等等。大量的物种由于缺乏天敌，演化出呆萌迟钝、憨态可掬的行为特点。同时，由于不再发展暴力，大量的鸟类集中精力发展美丽，以此赢得生存竞争。例如巴布亚的天堂鸟，将美丽发展到极致，其羽毛争奇斗艳，绚丽多彩。Kiama岸边聚集着大量的鹦鹉，鸬鹚，鱼鹰，海鸥等海禽，并不惧怕人类，在岸边悠然自得。与之产生强烈对比的是纽约沿岸的海鸥，阴鸷暴力，血腥残忍。长岛游人经常去岸边钓螃蟹，将鸡腿放入特制的笼子里，去引诱螃蟹进入陷阱。在将鸡腿抛入大海的刹那，经常有海鸥凌空掠过，将整条鸡腿吞入口中，同时十数只海鸥冲上前去，在空中厮打抢夺。澳洲的动物非常温和，质朴憨厚，与世无争，却又承受着苍天的眷顾，享受着天堂般的自然环境。听说澳大利亚内陆沙漠地带，生存条件恶劣，演化出毒性极强的毒蛇和毒蝎。
图4. 海边的鹦鹉。 澳大利亚的食物也是天下独绝，Kiama的知名海产居然是人类远祖，澳洲肺鱼（barramundi）。澳洲的帝王蟹，体型巨大，宛若一张八角圆桌，一只足够十个成人饱餐一顿；体型稍小的澳洲雪蟹，通体雪白，足够两人大快朵颐。澳洲公路两侧，牛羊遍野，在冬季披着各色毛毯，自得其乐地觅食。汪徐家教授在住所烧烤，招待与会学者，随便从超市中买来了澳洲羊排，味道极其鲜美。即便在北京或者纽约的米其林餐厅，都很难品尝到味道如此浓郁纯正的羊排。烧烤对虾，体型硕大，肥厚劲道，余味绵长。 Kiama拥有一项独步天下的奇观 - blowhole。Kiama海岸由含铁量很高的火山岩构成，石质坚硬。同时，火山岩中包含一种比较柔软的矿物质。在自然的风化作用和海浪的冲刷之下，岸边的山体被镂空，形成竖井结构。同时山体水下部分形成甬道。在强烈的海风和海水潮汐共同作用之下，海浪能够冲进甬道，在竖井中喷射而出，形成壮观的喷泉。久闻大名，会议中，几乎每天大家都前去，等待合适的风向和潮汐。但是天公不作美，一直没有等到合适的气象条件。终于有一日，海风呼啸，潮汐暴涨，blowhole奇观再现。站在blowhole附近，聆听海浪的轰鸣由远及近，咆哮而至，刹那间，山体中部喷出擎天一柱，浪花四溅，彩虹缤纷，令人壮怀激荡，情难自已。激动的洪敏纯教授称之为“蒙日爆炸”！
图5. 纯净美丽的“白沙滩”。 澳大利亚的“白沙滩”名闻天下。海沙洁白如雪，绵延数里，海水澄澈，天空湛蓝。沿着海岸踯躅而行，物我两忘，心旷神怡。大家谈着蒙日-安培方程先验估计的各种技巧，亦觉鬼斧神工，浑然天成。海中游弋着海豚，流线型身体光滑柔顺，泳姿流畅优雅。海豚颇通人性，与游船亲切互动，其乐融融。 思想交流 纯粹数学家是人类社会中最为天真单纯的族群，他们选择出世的生活，大部分时间生活在抽象的数学世界里，从而不食人间烟火。与政客商人不同，他们绝少运用政治手腕或者资本诡计来攫取利益，而是通过思想才华来得到世界的承认，应用美学价值来感召芸芸众生。和纯数学家交流思想总是令人心旷神怡的经验，他们低调而谦逊，深刻而隽永，总在哲学和数学方面给人以启迪。蒙日-安培方程理论相对艰深，这一领域的专家都怀瑾藏璧，身手不凡。老顾的师叔方复全院士曾经公开赞扬过汪徐家院士“是有真功夫的”！和这些数学大家交流，受益匪浅。 大师兄曹怀东教授曾经用凯勒-黎奇流的方法给出卡拉比猜想的另外一种证明，并且补充Peralman的概略证明，用黎奇流的方法给出庞加莱猜测、瑟斯顿猜测证明的所有细节。老顾向曹师兄求教如何将Abel-Jacobi定理从复流形向实流形推广，曹师兄建议老顾去研读实代数几何方面的工作。曹师兄赞扬老顾的研究风格需要什么数学理论就研习什么理论，相对于专攻一个方向的数学家更为广博；老顾认为纯粹数学家的工作更为深刻，更具原始的独创性，将成熟的数学理论应用于工程领域，其深刻程度和开拓性低于纯粹数学家。 华盛顿大学的袁域教授是清华应用数学系86级的师兄，比老顾高3个年级。在那个年代，清华数学系和计算机系的理论班同时上课。老顾好几个数学系同班女生都成了袁域的同学们的妻子，由此验证了对于学妹这种稀缺资源而言，师兄们是顶级掠食者。袁教授言道其初爱是几何，可现以偏微分方程谋生。他非常推崇华罗庚先生关于分析和几何的哲学思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。他年轻的时候，对于一道题多种解法不以为然，成熟之后改变了看法。每个数学问题他都要求自己用分析解决一次，再用几何解决一次，并且尽量少用先进的分析工具，尽量降低求导阶数，从更为本质的层面去洞察。这一点非常符合老顾的心意，对于老顾的工作而言，从分析到几何层面的理解是处于准备阶段，最终将数学定理转化为计算机算法才算真正完成。算法设计更多地是依循问题的几何本质，很多艰深的分析证明，其后面的几何想法却是非常自然而直观的。从某种层面上而言，蒙日-安培方程理论就是一个强有力的例证。袁教授强调了先验估计在偏微分方程理论中的重要作用：“一方面，先验估计有助于事先了解方程解的性质；另一方面，先验估计有助于解的存在性证明。例如，我们用不动点的方法证明解的存在，迭代应该在不变空间中进行。因此，我们需要相应导数估计。” 袁教授随便在便签上寥寥几笔，就将最优传输映射理论做了总结。由Kantorovich对偶泛函，我们得到
两侧对x求导，便有
代入
如果传输代价为欧式距离的平方，则代价函数等价于
代入上面公式，得到最优传输映射及其逆映射由以下公式给出
从而我们有
我们画出曲线，
曲线下方和上方的面积分别是
由此我们证明了
在曲线上任选一点，考察这点导数，即切线的方向，我们有
同理，我们将x看成是y的函数，于是得到
由此我们证明了，一般情形Hessian矩阵互逆，
言简意赅，力透纸背。 老顾的清华同学很少有人读取博士，留在学术界的更是寥寥无几。绝大多数计算机系的同学最终去了硅谷和华尔街。袁教授对此不幸感慨万千。这些清华学子都有很好的潜质，本应胸怀大志为人类做出更大的贡献。其实在现代商业社会，金钱成为价值的唯一衡量标准，坚持理想主义，成为纯粹数学家，这需要极大的勇气和极强的定力，很多时候要付出巨大的代价。对于个人而言，顺流而下，追求安逸，无可厚非；对于民族而言，迎难而上，中流砥柱，必不可少。清华的确需要培养曹师兄、袁师兄这样沉宏博大、胸襟万里的栋梁之才。 俄亥俄大学的关波教授祖上正黄旗，世代居住满清发源地宁古塔。关教授本科学习工程，研究生转学偏微分方程理论，在Weyl等距嵌入方面做出杰出贡献。这次会议上，关教授讲解了Weyl定理另外一个更直接的基于蒙日-安培方程的证明。老顾和关教授探讨了工程学科和基础理论的异同。理论工作目的在于拓宽人类知识的边界，追求永恒价值；工程科学目的在于延拓人类技术的边界，强调当下的实用价值。但是，因为过于贴近当下的技术，工程师的创造非常容易被时代所无情抛弃。曾经有一位科大少年班的才子，在我们系研究用格子玻尔兹曼机（Lattice Boltzman Machine）求解流体力学方程，进行流体模拟仿真。他基于当时的GPU硬件条件，花了六年时间设计了一个迂回而精妙的算法。但是，在他博士答辩前夕，新版的GPU问世，由于硬件的改进，他所设计的复杂而迂回的算法变得毫无价值，这对他是一个巨大的打击。很多工程领域的学者，晚年无法将论文汇集成书出版，因为他们的研究都已经过时，失去了价值。这无论如何都是令人抱憾终身。从这个角度而言，数学家对人类的贡献更为持久。同时，老顾觉得数学对于精神的陶冶更为强烈。数学家见面，总要眉飞色舞地探讨数学，深深陶醉于数学的优美和深邃；资深工程师虽然也对技术痴迷，但他们更乐于讨论创业和融资。 汪教授、汪教授的高足陈同学和博士后黄耿耿曾经证明了一种蒙日-安培方程数值算法的收敛性，估计了收敛阶。陈同学的经历非常令人震撼而钦佩：高中由于数学竞赛保送北大计算机系，学习了两年计算机视觉和模式识别后，觉得计算机科学的深刻程度不如纯粹数学，力图转到数学系。当时北大的体制比较僵化，无法转系。最后陈同学不顾家人师长的苦苦劝告，毅然退学重新高考，进入浙大数学系学习，本科毕业后投奔汪教授门下，习得真传。“那时候模式识别算法比较原始，很难想到多年之后的算法会用到蒙日-安培方程。”陈同学轻描淡写地说到。老顾深知陈同学当初壮士断腕，需要多大的勇气！如今完成博士学业，夙愿得偿。老顾笑问：“汪院士的独门绝技是否习得，烂熟于胸？从此下山，行走江湖，可否万人敌？”陈同学笑而不答。 陈同学的理想主义令老顾非常感慨。一如汪徐家教授，纯粹数学家依靠自身的才华和创造，独立于世。这需要数十年的苦心积累，过人的胆识和合适的机遇。绝大多数学生对自己的才华没有强烈的自信，追求安稳优渥的生活，从而过早地放弃纯粹数学的专研。但是，经历动荡的青年阶段，生活稳定之后，很多工程领域的教授也往往遗憾于无法登堂入室到现代数学领域。老顾也遇到过一些本科数学背景学生，转至计算机领域之后，对于计算机方向科研的风格非常不满。他们在顶级公司研究部门实习之后，觉得大量研究只是依赖于“脑洞大开”，严密性和深刻性无法得到满足。也有学生在计算机硕士毕业的当天号啕大哭，因为他觉得并没有学到深刻的学问。当然，有些投身工业界的学生，日后见面时都遗憾于没有尽早毕业，耽误了赚钱；很多投身于学术界的学生，都遗憾于毕业太早，很多深刻的几何拓扑理论没有学透，无法融会贯通。 数学已经发展了两千余年，计算机科学只有几十年。数学的深刻性、严密性自然远远超越计算机科学。但是，计算机发展的速度远远超过数学发展的速度，依随技术爆炸，很多抽象精深的现代数学，正在渗透到计算机科学之中，成为计算机的经典算法。特别是我们正在见证深度学习方法论的爆炸，使得计算最优传输理论和蒙日-安培方程迅速成为计算机科学的新兴分支。 技术爆炸 医学图像 核磁共振、CT扫描等医学图像技术的兴起，彻底革命了医学领域。医学诊治愈来愈依赖于医学图像。如何比对两张医学图像成为一种不可或缺的技术。如果我们将医学图像的灰度值看成是一个概率密度函数，两张图像的比对等价于求取一个微分同胚，使得概率密度匹配，同时图像畸变最小。这恰好可以用最优传输映射来建模。可以想见，随着计算硬件条件的提高，算法效率的改进，蒙日-安培方程将会日益应用于医学领域。 无线通信无线通信技术迅猛发展，人类已经须臾不可离开手机。蒙日-安培方程可以帮助设计天线设备，提高通讯效率。最优传输理论和信息论结合，有望从理论层面取得基础性的突破。信息熵和最优传输的关系，熵和Wasserstein空间测地线的关系，熵和底流形曲率的关系，Brunn-Minkowski不等式的信息论解释，这些都是极有潜力的研究方向。
图6. 自适应车灯光强分布，audi概念。 汽车工业 目前有一半的车祸发生在夜间。如何提高车灯的光照强度，同时避免为迎面而来的司机造成的刺眼强光，一直是车灯设计的关键问题。近年来，依随新型光源技术的成熟和光学加工技术的发展，适应性车灯技术开始涌现。如图6所示，车灯在远处的光强分布不再是均匀分布，而是由设计师来指定，这一问题被称为是反射镜面设计问题。反射镜面设计本质是最优传输问题，可以用曲面上的蒙日-安培方程来描述并解决。由于3D打印技术的发展，自由曲面光学器件加工日趋成熟，不远的未来必将应用新型车灯。 深度学习 一类自然数据可以看成是高维数据空间中一个低维流形上的概率分布。深度学习核心就是学习流形的结构，用编码、解码映射来表示，同时学习概率分布。在隐空间中，数据分布很不规则，无法用带参数的经典分布来刻画，反而可以用从已知高斯分布到数据分布的最优传输映射来表示。对抗生成模型中的判别器计算真实分布和生成分布之间的Wasserstein距离，生成器计算从隐空间白噪声到生成分布的传输映射。因此，我们可以用最优传输理论来解释并设计深度学习模型。这种理论框架可以完美解释模式崩溃的内在原因，提高训练稳定性和效率，从而使得深度学习的黑箱变得透明。 举例而言，汪院士曾在蒙日-安培方程的正则性方面做出杰出贡献。但是长期以来，因为计算机只能表达离散数据，所以计算机领域并不太注重偏微分方程解的正则性。但是，最近我们发现GAN模型的模式崩溃问题和蒙日-安培方程解的正则性息息相关。1996年，汪院士在关于光线反射的文章中证明：如果目标区域非凸，则存在定义在源区域和目标区域上的正光滑分布，使得最优传输映射不连续；2005年，汪院士在和麻希南、Trudinger的文章中将这一定理推广到任意成本函数，包括蒙日-安培方程。这意味着如果目标测度的支集非凸，那么最优传输映射不再是全局连续，存在奇异点集。目前深度神经网络只能表达连续映射，无法表达传输映射，这一矛盾造成模式崩溃。我们在人脸图像流形上，找到了这种奇异集合。（细节请见GAN模式崩溃的理论解释） 展望 这次蒙日-安培方程会议，与会学者大概有40人左右，这在数学领域应该属于颇具规模的会议。计算机视觉、深度学习的国际会议大约有两万人左右。这两万人应该都知道对抗生成网络（GAN），都听说过Wasserstein距离，自然也都渴望理解蒙日-安培方程。蒙日-安培方程理论的普及和发展必将迎来高潮。这在非线性分析领域，是史无前例的情况，更是千载难逢的机会。 相信依随技术的发展，艰深的蒙日-安培方程理论，将被更多的学者所掌握并欣赏，启迪更多的年轻学生，发现更多的工程应用，从而日益走入千家万户，融入到现代科技浪潮之中！ （感谢汪徐家教授、关波教授、袁域教授、刘佳堃教授和陈同学帮忙修改斧正。） |
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来自： taotao_2016 > 《数学》
到销地
运输一吨粮食所花费的代价是
，政府希望设计一种传输方案，将粮食从生产者运送到消费者手中，
，同时实现两个目标：
，由Brenier理论，存在一个凸函数，
，所谓的Brenier势能函数，其梯度映射给出最优传输映射，
。这时，Brenier势能函数满足经典的蒙日-安培方程：
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