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并不神秘的非欧几何,它究竟讲的是什么?今天带你搞懂

2019-08-30  kanglanlan

欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言)科学体系。它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,欧洲数学2000年发展史,几乎有四分之三的时间里欧氏几何一统天下,对科学和哲学的影响极其深远。直到魏尔斯特拉斯发起的分析算术化运动使代数从欧氏几何中完全脱离以及非欧几何的诞生才结束了欧氏几何的统治地位。

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其中,非欧几何的诞生影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展,今天我们就来谈一下非欧几何与发展。

欧氏几何第五公设问题掀起的风波

欧几里得的《几何原本》标志着非欧几何的诞生,在《几何原本》里,欧几里得给出了 23 条定义、5条公理、5条公设,由此推证出48个命题。公理是指在任何数学学科里都适用的不需要证明的基本原理,公设则是几何学里的不需要证明的基本原理。近代数学则对此不再区分,都称“公理”。

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这五大公设中,由于第五公设的内容和叙述比前四条公设复杂,所以引起后人的不断研究和探讨。

因为前四条公设都可以用《几何原本》中的其余公设、公理和推论证明,而人们始终相信欧氏几何是物理空间的正确理想化,所以众多数学家就尝试用前4个公设、5个公理以及由它们推证出的命题来证明第五公设,然而都没有成功

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第五公设难题:如果一条线段与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两直角和,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角和的一侧相交。

论证的不成功引发了数学家的疑义,数学界由此开始了对“第五公设难题”的讨论。

数学家还尝试用更简单、明畅的语言来叙述这条公设,从而更好地理解它并解决它,古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就曾经试图重现陈述它,然而这些替代性陈述效果并不比原来的文字更好。直到 18 世纪普莱菲尔才算总结出一个比较简单的替代性公设:过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”。 (我们中学教材就常用这个叙述形式来替代第五公设。)

从公元前三世纪一直到公元十八世纪期间,近 2000 年的时光过去,整个数学体系已经初具雏形。继解析几何和微积分诞生之后,新的数学分支纷纷脱颖而出。无数困难问题得以解决。许多数学家创立了复杂艰深的数学理论。但是人们在看上去极其简单的第五公设问题面前却仍然一筹莫展。法国数学家达朗贝尔在1759年无奈宣称:第五公设问题是“几何原理中的家丑”。

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罗巴切夫斯基对第五公设问题的解决宣告了非欧几何的诞生

在达朗贝尔之后,无数数学家开始向第五公设发起了冲锋,试图将它攻陷。

18世纪初,意大利的萨凯里提出用归谬法试图证明第五公设,萨凯里从四边形开始,如果角A和角B是直角,且AC=BD,容易证明角C等于角D,这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断。萨凯里还提出了钝角和锐角的假设,但是因为与经验认识违背,萨凯里最终选择放弃了最后结论。

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瑞士数学家兰伯特也采用了萨凯里的求证思路,他也考察了一类四边形,其中3个角为直角,而第四个角有三种可能性:锐角,直角,钝角。之后兰贝特否定了钝角假设,也没有轻率地做出锐角假设导致矛盾的结论。

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兰伯特

他在此基础上进行了大胆的猜想:如果过直线外一点如果没有直线与之平行或者不止一条直线与之平行的情况下,也许存在可能的几何学而不产生矛盾。

兰伯特和萨凯里都走到了非欧几何的门槛,尤其萨凯里提出的对于锐角的假设是成立的,他后来成为了罗巴切夫斯基几何(双曲几何)的基础之一但是因为时代的原因,最终没有迈过去。

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第五公设问题到了高斯手里,才算取得突破,高斯15岁的时候就饶有兴致地思索起了这个困扰了数学界近两千年的难题。他亲自做了实地测量,来讨论我们生存的空间是否存在有非欧几何性质的可能性,从而用新的几何思想解决第五公设难题。

到1813年,高斯已经形成了一套关于新几何的思想,他称之为“反欧几里得几何”后来又改称“非欧几里得几何”。并且坚信这种新几何在逻辑上也是相容的,且有广阔的应用前景。但高斯是个较为保守和谨慎的数学家,也忧心那些顽固分子会对这一发现展开攻击,所以生前并未公开发表这一成果。

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他的行为也打击到了一位青年数学家波尔约,波尔约和他父亲一样(他父亲老波尔约和高斯是同学),醉心于第五公设研究,在研究之中他得出了非欧几何的基本原理。1823年,这位骄傲自豪的父亲将儿子长达26页的论文《关于一个与欧几里得第五公设无关的空间的绝对真实性的学说》满怀自信地交由自己的老同学高斯审阅。但高斯的回应对父子二人来说犹如晴天霹雳。

高斯表示,自己并不能称赞,因为称赞他就等同于称赞自己,因为这些成果与自己30年前思考的结果相同……然而年轻气盛的波尔约却坚信是高斯剽窃了他的成果,这件事沉重打击了波尔约对数学的热情,选择放弃了数学研究。

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玻尔约及其遗留手稿

高斯对于研究成果的秘不发表,而波尔约转而研究神学。第五公设问题到了罗巴切夫斯基手里才算得到初步解决。

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他用了与第五公设相反的断言:通过直线外一点,可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线,“作为假设,把它与欧氏几何的其他公设结合其他,然后约定这个断言为公理,若这个假设与其他公设不相容,则得到了第五公设的证明,并由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理,形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论,这就是高斯遗稿中所命名的《非欧几何》。

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罗巴切夫斯基公理系统和欧几里得公里系统的不同仅仅在于第五公设,罗巴切夫斯基用“通过直线外一点,可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线”来代替,其他都与欧氏几何相同,也就是说凡是不涉及到第五公设的几何命题,欧氏几何是正确的,在罗氏几何中也是正确的。而凡是涉及到第五公设的,在罗氏几何中都有新的具体意义。

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黎曼几何的诞生标志着非欧几何的成熟

1854 年,高斯的学生黎曼发表了发表《论作为几何学基础的假设》一文,宣告了黎曼几何的诞生。

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黎曼以高斯“过直线外一点,没有直线与已知直线共面而不相交”为公理去代替欧几里得第五公设,从而创立了另一种非欧几何。

在这种几何中,欧几里得第五公设和直线可以任意延长就被否定了,在这种几何中,对于每一条直线,都存在一个这条直线能够延长的最大长度。过给定的两点,总可以作一条以上直线;三角形内角和大于180度,且超出的量与三角形面积成正比。

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非欧几何与欧几里得几何虽然结果不同,但它们都是无矛盾的几何学。非欧几何甚至还可以在欧几里得几何的某些曲面上表现出来。非欧几何的产生打破了几何空间的唯一性,反映了空间形式的多样性。

简单而言,黎曼提出的全新的几何思想保留了欧氏几何学的其他公理与公设,经过严密逻辑推理而建立起来的几何体系。这种几何否认“平行线”的存在,是另一种全新的非欧几何,

自此,非欧几何里的两大支柱罗氏几何和黎曼几何就此诞生,而欧几里得留下的第五公设难题也被完全解决。

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简单总结来说,欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的,只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。 罗氏几何讲“ 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点,不能做直线和已知直线平行”? 黎曼几何就回答了这个问题。

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庞加莱构建非欧几何模型让非欧几何得到认可

当时欧氏几何的权威性让非欧几何被数学家接受遇到了很多的阻力,像凡涉及到平行公理的命题,在罗氏几何中都不成立,他们都相应地含有新的意义这点,就让许多数学家难以接受。

比如数理逻辑的缔造者弗雷格,至死不肯承认非欧几何学,为了能够让非欧几何被数学界接受,众多数学家开始寻找非欧几何的现实模型(建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁)。

因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾,如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通,也就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西,公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释,这种解释也叫做非欧几何学的欧氏模型。

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欧氏几何

而黎曼几何的数学模型就相对好找一些,因为黎曼几何中的一条基本规定是:在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在,它的另一条公设讲:直线可以无限延长,但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

但是罗氏几何就相对来说比较困难一些。

1868年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面(例如拟球曲面)上实现。这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾。

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1871年,德国数学家克莱因认识到从射影几何中可以推导度量几何,并建立了非欧几何模型。这样,非欧几何的相容性问题就归结为欧氏几何的相容性问题。

而后来庞加莱构建的非欧几何模型中过“直线”外一点可以做出无数条与该直线平行的“直线”。其中“直线”指的是过两点的最短路径,所以在此模型中“直线”就是连接两点并且垂直于边界的圆弧。

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还应该注意,在这个模型中三角形的内角和小于180度。

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克莱因和庞加莱先后给出了罗氏几何的数学模式让大部分数学家接受了非欧几何学。众多数学家指出非欧几何学和欧氏几何学平起平坐的时代已经到来。

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非欧几何的影响与意义

如今,经过百年的发展,非欧几何已经成为了几何学中非常重要的组成部分,如果我们需要给它下个定义,那么非欧几何是指不同于欧几里得几何学的几何体系,一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的椭圆几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行定理。

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三者的区别

非欧几何诞生以后,两者各行其是,欧氏几何的几何结构是平坦的空间结构背景下考察,主要研究平面结构的几何及立体几何;而非欧几何关注弯曲空间下的几何结构,适用于抽象空间的研究,即更一般的空间形式。

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非欧几何的产生与发展,打破了 2000多年来欧氏几何一统天下的局面,从根本上革新和拓展了人们对几何学观念的认识,它引起了人们对数学本质的深入探讨,影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展。

它从根本上改变了人们的几何观念,扩大了几何学的研究对象,使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象空间,即更一般的空间形式,使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。

非欧几何的诞生过程也促进了一些重要数学分支的产生,如数理逻辑、分析基础等。同时非欧几何学的创立为爱因斯坦发展广义相对论 提供了思想基础和有力工具。

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可以说,非欧几何的诞生是数学发展史上的一次重大革命,它的产生推动了数学的大发展,也促进了数学的大革新。也更加紧密联系了数学与物理之间的联系。

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