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例题：（初中数学奥赛题）如图，在矩形ABCD中，已知O是矩形内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，求OD的长。 分析：此题图形比较简单，条件较少，而要求的问题与已知条件的线段类似。如果直接通过给出的图形求解，似乎无从下手，因为没有任何特殊的三角形或者四边形，所以必须考虑作出适当的辅助线，首先考虑的是作垂线，构造直角三角形。 下面，我们就从关键点O出发作垂线，过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H。这样一来就得到了很多直角三角形，然后运用勾股定理可以得到几组等式。在三角形ODG中，OD^2=OG^2+DG^2=OG^2+OE^2，如果能够求出OG^2+OE^2的值，问题即可得到解决。 解：如图，过O作EF⊥AD于E，交BC于F，过O作GH⊥DC于G，交AB于H。 设OE=a，OG=b，OF=c，OH=d， 因为OA=1，OB=3，OC=4， 观察图形，由勾股定理可得（省略部分过程） a^2 = OA^2-d^2=1-d^2 b^2 = OC^2-c^2=16-c^2 OH^2+OF^2=OB^2，即d^2+c^2=3^2=9 所以OD^2=OE^2+OG^2=a^2+b^2=1-d^2 + 16-c^2 =17-(d^2+c^2)=17-9=8 所以OD=2√2 答：OD的长是2√2。 |
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