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由于最短路径问题是常见的几何最值问题，所以习惯性的把几何最值问题统称为最短路径问题了。虽然说法欠妥，但是也方便大家归类、对比学习。 进入进行的主题前，大家可以先看下面这个问题。
遇到此类问题应该怎么解决呢。 当然，我们能确定点A的运动轨迹就好了。但是多数时候我们没有工具，一下子还是确定不了的。 不过我们可以适当猜测一下什么时候距离会最大。 当然，一般都是想到特殊的时候，比如OB=OC时。因为左右偏移都不合适，所以只能取特殊的时候啦。 通过几何画板画轨迹，也确实验证了这点。 但是，同学们就说了。这样也行？好歹给个说法。 那下面就是简单的说明了，接招。 按照我们的猜测，当OB=OC时，直接连接OA即可。再取一个普通的情况进行对比。 如上图，取BC的中点M，连接OM、AM， 根据OM+AM≥OA，易得，当O、M、A三点共线时线段最长，即OB=OC的时候，OA最大。 明白了吗？ 下面上中考真题： 【题1】 （2019·益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动． （3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值． 【答案】 如图2，M为AD的中点， ∴OM＝3，CM=√(CD²+DM²)=5， ∴OC≤OM+CM＝8， 当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8， 连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N， ∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN， ∴CD/ON=DM/MN=CM/OM，4/ON=3/MN=5/3， 解得MN=9/5，ON=12/5， ∴AN＝AM﹣MN=6/5， 在Rt△OAN中， OA=√(ON²+AN² )=(6√5)/5， ∴cos∠OAD=AN/OA=√5/5． 【题2】 （2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB＝24，BC＝5．给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12π；②△OAB的面积最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为（(25√26)/26，(125√26)/26）．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③． 【解析】 解：∵点E为AB的中点，AB＝24，∴OE=1/2 AB=12，∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧，∵∠AOB＝90°，∴点E经过的路径长为(90×12×π)/180=6π，故①错误；当△OAB的面积最大时，因为AB＝24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA＝OB，∵E为AB的中点，∴OE⊥AB，OE=1/2 AB=12，∴S_(△AOB)=1/2×24×12=144，故②正确； 如图，当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F， ∵AD＝BC＝5，AE=1/2 AB=12， ∴DE=√(AD²+AE² )=√(5²+12² )=13， ∴OD＝DE+OE＝13+12＝25， 设DF＝x，∴OF=√(OD²-DF² )=√(25²-x² )， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，∴∠DFA＝∠AOB，∴∠DAF＝∠ABO， ∴△DFA∽△AOB，∴DF/OA=DA/AB，∴x/OA=5/24， ∴OA=24x/5， ∵E为AB的中点，∠AOB＝90°， ∴AE＝OE，∴∠AOE＝∠OAE， ∴△DFO∽△BOA，∴OD/AB=OF/OA， ∴25/24=√(25^2-x^2 )/(24x/5)， 解得x=(25√26)/26，x=-(25√26)/26舍去， ∴OF=(125√26)/26， ∴D((25√26)/26， (125√26)/26)． 故③正确． |
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