角平分线中常用的作辅助线的方法

因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件（角相等和公共边），所以在处理角的平分线的问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等（SAS）或向两边作垂线段（AAS）等来构造全等三角形。今天跟大家介绍几种角平分线中常用的作辅助线的方法。

方法一：作一边的垂线段

例1：如图，已知△ABC的周长为24，OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，求△ABC的面积。

【分析】连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC与F，根据角平分线的性质求出OE、OF的长，根据△ABC的面积＝△A0B的面积+△BOC的面积+△AOC的面积计算即可．

【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，

∴OE＝OE＝OD＝2，

答：△ABC的面积是24．

【点评】本题主要考查平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意辅助线的作法要正确．

方法二：作两边的垂线段

例2：如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．

【分析】过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC＝PD．

【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，

∴∠PEC＝∠PFD＝90°，

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE＝PF，

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，

∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

而∠PDO+∠PDF＝180°，

∴∠PCE＝∠PDF，

∴△PCE≌△PDF（AAS），

∴PC＝PD

【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．

方法三：截长补短法

例3：先阅读下面的材料，然后解答问题：

已知：如图1等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD．

证明：如图1，在AC上截取AE＝AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）

∴∠AED＝∠B＝90°，DE＝DB

又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．

∴DE＝EC．

∴AC＝AE+EC＝AB+BD．

我们将这种证明一条线段等于另两线段和的方法称为“截长法”．

解决问题：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D，如图2”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．

【分析】根据Rt△ADB≌Rt△ADE（SAS）可得出∴∠AED＝∠ABD＝90°，AB＝AE，DB＝DE，由等腰直角三角形的性质即可求解．

【解答】解：如图2，在CA的延长线上截取AE＝AB，连接DE．

则由已知条件易知：△ADB≌△ADE（SAS）．

∴∠AED＝∠ABD＝90°，AB＝AE，DB＝DE，

又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．

∴DE＝EC．

∴DB＝AE+AC＝AB+AC．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构成全等三角形是解题的关键，难度适中．

方法四：截取作对称图形法

例4：如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，试说明:BE+CF＞EF

【分析】根据中线的定义可得BD＝CD，在AD上截取DN＝DB＝DC，然后利用“边角边”证明△BDE和△NDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝NE，同理证明△CDF和△NDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝NF，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边证明．

【解答】证明：∵AD为△ABC的中线，

∴BD＝CD，

如图，在AD上截取DN＝DB＝DC，

∵DE、DF分别为△ADB、△ADC的角平分线，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

在△EFN中，NE+NF＞EF，

∴BE+CF＞EF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，作辅助线构造出全等三角形并把BE、CF、EF的长度转化为同一个三角形的三边是解题的关键．