中考复习专题之角平分线的辅助线的作法

作有关角平分线的辅助线，常见的有四种方法：

① 如下图，由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；（可向两边作垂线）

图1

② 如下图，以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；（也可说为在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形）

图2

③ 如下图，当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一” 性质证题；（也可说为“角平分线加垂直”可延长构造等腰三角形）

图3

④如下图，过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰 ”.（可作平行线，构造等腰三角形）

图4

方法一练习

1. 如图,已知△ABC中,AC=BC,∠ACB=90∘，BD平分∠ABC，求证：AB=BC+CD.

题目图

答案图

解答：

证明：过点D作DE⊥AB于点E，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠DBE，CD=DE，

在△BCD与△BED中，

∠DBC=∠DBA

∠C=∠BED=90∘

BD=BD，

∴△BCD≌△BED(AAS)，

∴BC=BE，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=45∘，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE=AE=CD，

∴AB=BE+AE=BC+CD.

2．已知：∠AOB=90∘，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C. D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由。

题目图

答案图

解答：

答：PC=PD.

证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，

∴∠CFP=∠DEP=90∘，

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE=PF，

∵∠1+∠FPD=90∘,∠AOB=90∘，

∴∠FPE=90∘，

∴∠2+∠FPD=90∘，

∴∠1=∠2，

在△CFP和△DEP中，

∠CFP=∠DEP

PE=PF

∠1=∠2 ，

∴△CFP≌△DEP(ASA)，

∴PC=PD.

3. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=0.5(AB+AD)，求∠ABC+∠ADC的度数。

题目图

答案图

解答：

过C作CF垂直AD于F，

∵AC平分∠BAD，

∴∠FAC=∠EAC，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴∠DFC=∠CEA=90∘，

∴△AFC≌△AEC(AAS)，

∴AF=AE，CF=CE，

∵AE=0.5(AB+AD)，

∴2AE=AB+AD，

又∵AD=AF−DF，AB=AE+BE，AF=AE，

∴2AE=AE+BE+AE−DF，

∴BE=DF，

∵∠DFC=∠CEB=90∘，CF=CE，

∴△CDF≌△CEB(SAS)，

∴∠ABC=∠CDF，

∵∠ADC+∠CDF=180∘，

∴∠ABC+∠ADC=180∘.

4.如图，在正方形ABCD中，已知E为CD的中点，F为BC上的点，∠ FAE=∠DAE,求证：AF=AD+CF

题目图

答案图

答案01

答案02

5. 如图,BC>BA,BD平分∠ABC,且AD=CD,求证：∠A+∠C=180∘.

题目图

答案图

解答：

过D作出DE⊥BA，DF⊥BC，

∵BD平分∠ABC,DE⊥BA,DF⊥BC,

∴DE=DF,∠E=∠DFC=90∘，

∴在Rt△DEA和Rt△DFC中

AD=CD

DE=DF，

∴Rt△DEA≌Rt△DFC(HL)，

∴∠C=∠EAD，

∵∠BAD+∠EAD=180∘，

∴∠BAD+∠C=180∘.

练习：如图，AB=2AC，∠1=∠2、DA=DB，求证：DC⊥AC.

题目图

你有几种方法

方法二练习

1. 如图,AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上。

求证：BC=AB+CD.

题目图

答案图

解答：

证明：在BC上取点F，使BF=BA，连接EF，

∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

在△ABE和△FBE中，

AB=FB

∠1=∠2

BE=BE,

∴△ABE≌△FBE(SAS)，

∴∠A=∠5.

∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180∘，

∴∠5+∠D=180.

∵∠5+∠6=180∘，

∴∠6=∠D.

在△CDE和△CFE中，

∠6=∠D

∠3=∠4

CE=CE，

∴△CDE≌△CFE(AAS)，

∴CF=CD.

∵BC=BF+CF，

∴BC=AB+CD.

2. 如图,在△ABC中,∠ABC=60∘，AD，CE分别平分∠BAC、∠ACB.

(1)求∠AOC的度数；

(2)求证：AC=AE+CD.

题目图

答案01

答案02

答案03

3. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB>AC，求证：AB−AC>PB−PC.

4. 已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°CD⊥AB,垂足为D,AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB,交BC于H,求证CF=BH

题目图

答案

练习：已知CE,AD是△ABC的角平分线,∠B=60°,求证：AC=AE+CD

方法三练习

1. 如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘，∠1=∠2，CE⊥BD的延长于E. 求证：BD=2CE.

题目图

答案

2. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，G为BC的中点，

求证：①DG∥AB;②DG=0.5(AB−AC).

题目图

答案

3. 如图，AD，AE是△ABC的∠BAC的内、外角平分线，过B作AD的垂线交AD的延长线于F，连FC并延长交AE于M，求证：AM=ME.

（本题较难）

题目图

答案

练习：已知：在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC中点,AE是∠BAC的平分线,且CE⊥AE于E,连结DE,求DE.

方法四用的较少，接下来看有角平分线作其他的辅助线的题

1. 在△ABC中，AD平分∠BAC，且AB=AD，过点C作CM⊥AD交AD延长线于M.

(1)若AC=BC，求∠B的度数并探究AB+AC与AM的数量关系，并证明；

(2)若AC≠BC,则(1)中AB+AC与AM的数量关系还会成立吗?请说明理由。

题目图

答案01

答案03

2.如图，∠C=2∠A,AC=2BC,求证△ABC是直角三角形

题目图

提示：作∠C的角平分线交AB于点D,再过D点作DE垂直于AC,垂足为E点