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垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义）
3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。
6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。
二. 重点、难点： 垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。
【典型例题】 例1. 已知：在⊙O中，弦AB＝12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：∠AOB的度数和圆的半径。 点悟：本例的关键在于正确理解什么是O点到AB的距离。 解：作OE⊥AB，垂足为E，则OE的长为O点到AB的距离，如图所示：
由垂径定理知： ∴△AOE、△BOE为等腰直角三角形 ∴∠AOB＝90° 由△AOE是等腰直角三角形 即⊙O的半径为 点拨：作出弦（AB）的弦心距（OE），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。
例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a，b。 求证：
证明：作OE⊥AB，垂足为E，连OA、OC 则 在 在 即
即 点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。
例3. ⊙O的直径为12cm，弦AB垂直平分半径OC，那么弦AB的长为（ ） A. （2001年辽宁） 解：圆的半径为6cm，半径OC的一半为3cm，故弦的长度为 故选C。
例4. 如图所示，以O为圆心，∠AOB＝120°，弓形高ND＝4cm，矩形EFGH的两顶点E、F在弦AB上，H、G在
解：连结AD、OG OA＝OD ∴△AOD为等边三角形 ∵OD⊥AN ∴NO＝ND＝4cm ∵OD＝OG＝8cm 设 在 解得： ∴HE的长为 点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。
例5. 已知，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且 A. 3cm B. 2.5cm C. 2cm D. 1cm （2001年北京东城区） 解： 故选C。 常见错误：将DC错算为OD，即算出OD就不再计算DC了，从而错选A。这种错误十分常见，一定要注意慎重的计算完全。
例6. 在⊙O中， A. C. 解：如图所示，连结BC。
在△ABC中，AB＜AC＋BC ∴AB＜2AC 故选D。 点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。
例7. 已知⊙O的半径是10cm， A. 5cm B.
解：如图所示， 在Rt△ACO中， 故选A。 点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。
例8. 等腰△ABC的顶角A＝120°，腰AB＝AC＝10，△ABC的外接圆半径等于（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 解：如图所示，连结OA、OB
∵AB＝AC＝10 由垂径定理的推论，得OA垂直平分BC，垂足为D 又∵∠BAC＝120° ∴∠ABC＝∠ACB＝30° ∴∠BAO＝60° 又∵OA＝OB ∴△AOB是等边三角形 ∴半径OA＝OB＝AB＝10 故选C。 点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。
例9. 点P为半径是5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 （2002年山东） 解：选C。 点拨：圆是中心对称图形，故与P点对称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有2个。因此，长度为整数弦一共有4条。
例10. 如图所示，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，AB＝CD。 求证：∠AMN＝∠CNM
点悟：由弦AB＝CD，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M、N分别为AB、CD的中点，如连结OM、ON，则有OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥CD，故易得结论。 证明：连结OM、ON ∵O为圆心，M、N分别为弦AB、CD的中点 ∴OM⊥AB，ON⊥CD ∵AB＝CD ∴OM＝ON ∴∠OMN＝∠ONM ∵∠AMN＝90°－∠OMN ∠CNM＝90°－∠ONM ∴∠AMN＝∠CNM 点拨：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题。
例11. 在⊙ （1） （2）∠ 错解：（1）因为 所以 （2） 常见错误：（1）误以为弧的度数相等弧亦相等，两弧相等必须是在同圆或等圆的前提下，看它们是否“重合”；（2）应该知道圆心角是角，它的大小是可以用度数来衡量的，度数相同的角就相等。可见它不受所对的弧相等与否来制约。 正解：（1）不一定相等。（2）相等。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 选择题。 1. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C. 在⊙O中，AB、CD是弦，若 D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径 2. 已知P为⊙O内一点，且OP＝3cm，如果⊙O的半径是4cm，那么过P点的最短弦等于（ ） A. 2cm B. 3cm C. 3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ） A. 10 B. 26 C. 13 D. 5 4. 在直径是10cm的⊙O中， A. 5. AB、CD分别为大小不同圆的弦，共AB＝CD，那么 A. C.
二. 填空题。 6. 已知AB为⊙O直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，AC＝6cm，则DC＝____________。 7. 直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。 8. 若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是___________梯形。 9. 弦AB把⊙O分3：7，则∠AOB＝___________。 10. 若⊙O半径是4，P在⊙O内，PO＝2，则过P点的最短的弦所对劣弧是___________度。 11. ⊙O中，弦AB垂直直径CD于点P，半径OA＝4cm，OP＝2cm，则∠AOB＝__________，∠ADC＝__________，
三. 解答题。 12. 如图，⊙O的两弦AB，CD互相垂直于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径。
13. 已知：如图，C为⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若
【试题答案】 一. 选择题。 1. A 2. D 3. B 4. D 5. D 二. 填空题。 6. 3cm 7. 斜边中点，斜边长 8. 等腰 9. 108° 10. 120° 11. 120°，30°或60°，60°或120°， 三. 解答题。 12. 过O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则得到矩形MHNO 又 ∴Rt△BOM中， 13. 连结OD、AE 则∠DOA＝50°，∠DEA＝25° 由OC＝CD，有∠D＝∠DOA＝50° ∴∠BCE＝∠D＋∠DOA＝100° ∴∠A＝∠BCE－∠AED＝100°－25°＝75° 则
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B. 6cm C. 
D. 
B. 
D. 
C. 
D. 
cm D. 
cm
C. 
B. 
D. 
