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和倍问题是数学解决问题类型中的一大重要版块。它指的是已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，求这两个数各是多少。常见的类型有整倍、和倍余多、和倍余少这三种，它们都涉及到和倍关系题。我们可以借助线段图来表示两种量之间的关系，从而找到解题思路。简单的和倍问题我们可以直接利用公式解决，而复杂的题目，通过画线段图后寻找隐藏的和倍关系，使关系更清晰明了，确定隐藏的“1倍量”，变通转化后再利用公式。常用的公式有：
总和-较小数=较大数; 较小数×几倍=较大数 另外要注意的是画线段图关键是画倍找和（画出倍数关系，找到我们画出的倍数关系所对应的和）。简单地说就是倍数关系与和要对应。 ² 例题精练 （一）整倍型 1、甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 【思路点拨】设乙班的图书本数为1份，那么甲班的图书是乙班的3倍，两班的图书本数和是乙班图书本数的4倍。这4份的数量对应的本数是160本，由此可以求出1份的数量，也就是乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数。用线段图表示为：
【解答】乙班：160÷（3+1）=40（本） 甲班40×3=120（本） 答：甲班120本，已班40本。 【小结】整倍型直接利用公式求解。 总和÷倍数和（几倍+1）=较小数（“1”倍数）; 总和-较小数=较大数; 较小数×几倍=较大数 （二）和倍余多型 1、甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食。其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的3倍多1吨，而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的2倍。甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？ 【思路点拨】根据题意知，丙粮仓的存粮最少，且与甲粮仓、乙粮仓的存粮有倍数关系，那么选丙粮仓的存粮为“1”，用一条小线段表示，乙粮仓是丙粮仓的2倍用两 条小线段表示，而甲粮仓比乙粮仓的3倍多1吨表示为2×3=6条小线段多1吨。
根据线段图可以看出，图中共有1+2+2×3=9条小线段，表示109-1=108吨，那么每条小线段表示：108÷9=12吨 【解答】丙粮仓：（109-1）÷（1+2+2×3）=12（吨）， 乙粮仓：12×2=24（吨）， 甲粮仓：24×3+1=73（吨） 73-24=49（吨） 答：甲粮仓比丙粮仓多存粮49吨。 2、被除数、除数、商三个数的和是181，商是12，求被除数。 【思路点拨】被除数=除数×商，也就是说被除数是除数的12倍。被除数与除数的和是181-12=169，那么我们就可以把此题转化为和倍问题来解答。
【解答】除数：（181-12）÷（1+12）=13 被除数：13×12=156 答：被除数是156. 【小结】和倍余多型可以把公式转化为： （和-多）÷倍数和（几倍+1）=较小数（“1”倍数） 总和-较小数=较大数; 较小数×几倍=较大数 （三）和倍余少型 1、师傅和徒弟共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个，师、徒各生产多少个？ 【思路点拨】由题目可知，如果师傅再多做10个，那么师傅生产的个数正好是徒弟生产个数的3倍。如果把徒弟生产的个数看作“1”倍数，此时师傅生产的个数是3倍数，师徒两人生产的个数和就是4倍数，共生产零件190+10=200个，所以我们就可以求出先求出1倍数，也就是徒弟的生产个数，再求出师傅的生产个数。
【解答】徒弟：（190+10）÷（1+3）=50（个） 师傅：50×3-10=140（个） 2、三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗。第三堆糖果有多少颗？ 【思路点拨】因为题目中第一堆和第三堆的糖果都与第二堆的倍数有关，那么设第二堆的糖果为“1”，用一条小线段表示：
通过线段图可以看出，1+3+2=6条小线段表示的共有：105+3=108颗。 【解答】第二堆：（105+3）÷（1+3+2）=18（颗） 第一堆：18×3=54（颗）， 第三堆：18×2-3=33（颗） 答：第三堆糖果有33颗。 【小结】和倍余少型可以把公式转化为： （和+少）÷倍数和（几倍+1）=较小数（“1”倍数） 总和-较小数=较大数; 较小数×几倍=较大数 （四）复杂型 1、550是甲、乙、丙、丁4个数的和。如果甲数加上2，乙数减少2，丙数除以2以后，则4个数相等。求4个数各是多少？ 【思路点拨】这四个数经过变化后都与丁相等，那么选取丁为“1”，用一条小线段表示，甲加上2与丁相等则甲原来比丁少2，乙减少2与丁相等则乙原来比丁多2，丙除以2与丁相等则丙原来是丁的2倍。如图：
根据线段图可以看出，图中共有1+1+1+2=5条小线段，共表示550-2+2=550 那么每条小线段表示：550÷5=110 【解答】丁：（550-2+2）÷（1+1+1+2）=110， 甲：110-2=108， 乙：110+2=112， 丙：110×2=220 答：甲是108，乙是112，丙是220，丁是110。 2、妹妹有课外书20本，姐姐有课外书25本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的2倍？ 【思路点拨】由题意可知，不管姐姐给妹妹多少本，他们的课外书的总数是不变的，如果把这些书分给姐姐和妹妹，使他们满足“妹妹课外书是姐姐的两倍”这样的关系，我们就可以先求出姐姐和妹妹现在的本数，再求出姐姐给了妹妹多少本。 【解答】姐姐现在的本数：（20+25）÷（1+2）=15（本） 姐姐给妹妹的本数：25-15=10（本） 答：姐姐给妹妹10本。 【小结】复杂型先变通转化成简单的和倍关系再利用公式求解。转化过程中要注意和与倍的对应关系。 |
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