 数学是科学的灵魂，而科学又是技术的源头，技术又是生产力增加、生活条件提升的必要条件。 昨天我们为了感受一下康托的研究对象，用的是一条线段和线段上的点来举例的，而实际上，康托在研究无穷集合的时候，也是在类似情景下做研究的。 他研究的东西，就是数轴上不同类型的点。
结果是，它们不是一一对应的。正整数是可数的，实数是不可数的。而且还得出了另外几条结论，咱们先直接说。 比如，一切代数是可数的，任何线段上的实数是不可数的，超越数是不可数的，无穷集合里，有些集合是可数的，有些是不可数的。这些结论咱们不能一一地解释，但是我挑几个最简单的，你肯定可以听懂。 比如现在，我来给你解释什么叫做有限，什么叫做可数，什么叫做不可数。 那么咱们作一个比喻：
那我们接下来说，什么叫做集合是无限，但是可数的。 比如问，正多面体一共有多少种，这个估计很少人能知道答案，但是我告诉你，它确实有一个数，你可以猜，于是你就顺着猜，比如说2种、3种、4种、5种，别猜了，猜对了，就是5种。 正多面体，就是说这一个立体形状中每一个面都是正多边形组成的，这种立体形状才能叫做正多面体。其实这是一个很严格的条件，很难很难满足。所以像正5面体，正7面体，9、10、11、13、14、15、16、17，这些正多面体都是统统不存在的，而你猜的这些数字，如果能按照一定顺序推进下去，你根本不知道它的正确答案是5，但是你按照一个一个数位这么递增下去猜，终归有一个时刻你能猜到正确答案，那我们就可以说，候选答案形成的这个集合是可数的。 以刚才咱们问正多面体有多少种这种问题来看，它的概念都是包含在正整数里的，所以正整数是可数集。正整数还对应着负整数，然后跟0加在一起就组成了整数。所以，整数集合也是可数的。 那么有理数呢？ 可能你现在都忘了有理数的定义是什么了，有理数的定义就是整数和分数统称为有理数。那么你可以考虑一下，有理数的集合是不是可数的。 怎么思考呢？ 就是我们还按照刚才的思路，假设有一个问题的答案就藏在有理数集合的数中，我们能不能找到一种猜数字的顺序，这种方法一步一步进行下去，早晚能把这个答案猜出来，不论这个答案是在前面还是在后面。 康托当年就在考虑这个问题，而且把顺序想出来了。  有理数集 我想大家只要按照上面这张图的数字猜下去，不会漏掉任何一个有理数。所以结论就是有理数也是可数的。
还是我刚刚说的那个思路，就是我们假设有一个答案藏在实数集里，我们能不能定义出一种顺着猜数的方法，一步一步走下去，最终遇到这个答案呢？康托最初的突破就是在这里，他用了反证法这种思维工具，咱们之前提过。 他假设存在这么一种猜数的方法，然后他找出了一种能把0到1之间所有的实数都不遗漏地排列出来的一个方法，然后又构造出来另外一个特别精巧的小数，结果这个小数竟然不能通过刚刚这种排列筛选出来，就是这个答案假如真的是他精心构造出的这个奇怪的小数的话，那么通过这种不会遗漏的排查方法，仍然会把它遗漏，所以矛盾就出现了。 那么现在的错误，一个是不可能出现在构造排列的方法上，另外也不可能出现在这个特殊的小数身上。 问题在哪呢？ 那肯定是这个前期假设是错的，也就是说，并不存在这样一种猜数的方法。所以，实数集合是不可数的。 当然，这个方法如果大家感兴趣，可以在维基百科上搜索实数，你可以仔细研究一下，因为涉及太多的细节，咱们就不在这儿说了。 虽然我们现在讨论的是集合论，这些都是大学数学专业才学的，但实际上，这里出现的符号、规律都是小学生可以掌握的。它类似于一种下棋的游戏，所以我倒是推荐有能力的小同学或大同学试试，你至少可以看懂康托的这段反证法。 等康托推进到这一步，实际上已经发现，实数中不可数的这部分远远多于可数的那一部分。 它们的比值是多少呢？ 是无穷大，也就是实数轴上可数的部分占比几乎为0%。 所以，虽然像12345这些是可数的，这些整数是无穷多的，但实数级是另外一种比无穷多的整数还多了无穷倍的集合的存在。换句话说，大家都是无穷多，但是有的人的无穷多比其他人的无穷多更加剧烈，这种剧烈程度，康托就称它为“无穷集合的势”。 集合论定义无穷再接下来，康托思考的另一个问题，就是如果把自然数的集合当作是势最小的无穷集合，实数集合的势肯定比自然数这个大。
这是一种非常不同的思维方式，它跟传统的部分小于整体的概念完全不兼容。 比如我现在问，偶数跟奇数谁多呢？你可能说一样多，对吧。那我继续问，偶数跟整数谁多呢？那传统思维肯定是整数多呀，因为整数里头一半是奇数，一半是偶数，整体大于部分嘛，但实际上在集合论中，偶数跟整数是一样多的，因为任意一个偶数总能对应一个整数的数字。只不过它们是2倍的关系。但因为偶数又是无穷无尽的，总是能以2倍这样一一对应整数写下去，这种一一对应关系保证了偶数跟整数是一样多的。 在集合论中，部分可以等于整体，这种颠覆式的思想还有很多例子。
答案是一样多。用专业的词汇说，这些定义下的集合具有相同的势。因为它们已经找到了一一对应的映射关系。
他在想这个问题的时候，整个数学界其实已经疯掉了。康托在一步一个脚印地定义着集合的各种运算，和集合之间的关系用什么描述的时候，比如像子集、真子集、幂集、并集、差集、交集都是什么，都是怎么定义的，两个集合的笛卡尔积是怎么运算的呀，这些全都定义清楚了。 最后，康托给无穷集合本身甚至都下了一个定义，就是如果一个集合能够找出一种对应关系，让它能和它的一部分构成一一对应，那么这个集合就是无穷的。现在连无穷都在逻辑上严格地定义出来了，整个集合论的大厦就从地基到5楼全都建起来了。 不被认可的数学天才康托从1870年陷入到其中开始研究的，到了我说的这一步，经历了14年的时间，这个时候，他已经从一个26岁的小伙子变成了一个40岁的大叔了。标志性的成果，就是他在40岁的时候出版了一本书，叫《一般集合论基础》。 但之后的数学界就是铺天盖地的攻击跟反对，当时几乎所有的数学家都在抨击他。
像大数学家克莱因，大哲学家维特根斯坦，像他们那样能够不在反对的文章中夹杂着讽刺，或者谩骂，只是理智客观地表达反对意见的人，其实已经算是很客气了。  康托 可以说，康托耗费了毕生青春做出来的东西，最终得到的是这样的回应。也就是在书出版的那一年，他因为精神压力过大，出现了严重的精神分裂，此后人生的34年里，一直分不清幻觉世界和现实世界的边界。 据他妻子说，他偶尔有几个星期恢复清醒的时候，思想的敏锐程度甚至超过了他患病之前的水准，康托40岁后所有的成果，都是在这种间歇性的几周清醒的时间里完成的。 在那30多年的浑浑噩噩的人生中，只有哥廷根数学学派的开山鼻祖希尔伯特，对康托有过真心的高度评价，他说康托的集合论是数学天才最优秀的作品，是人类纯粹智力活动的最高成就之一，是这个时代能夸耀的最伟大的工作，没有任何人能将我们从康托创造的伊甸园中驱赶出来。 并且希尔伯特在1900年第二届国际数学家大会上，他把康托的连续统假设列为了下一个100年有待解决的最重要的23个问题的第一名。 其实康托的连续统假设问题就是我刚刚说过的，存不存在其他的集合，它的势大于自然数集合的势，而小于实数集的势呢？ 今天我们先告一段落，因为现代数学的发展远没有结束，它马上就要走进第三次数学危机了。 |
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