【181】加法原理之上楼梯问题

例1.有一楼梯共8级，如果规定每步只能跨上一级或两级，要登上8级台阶共有______种不同走法．

第一级：只跨1步，                    有1种；
第二级：（1、1），（2），       有2种；
第三级：（1、1、1），（1、2），（2、1），有1+2=3种；
第四级：（1、1、1、1），（1、1、2），（2、1、1），（2、2），（1、2、1），有2+3=5种；
第五级：…有3+5=8种；
可以发现从第三次开始，后一种情况总是前两种情况的和；
所以，第六级：有5+8=13种；
第七级：有8+13=21种；
第八级：有13+21=34种；
答：要登上8级台阶共有34种不同走法．
故答案为：34．

列表如下：

级数	1	2	3	4	5	6	7	8
走法	1	2	3	5	8	13	21	34

上面走法部分形成了一个有规律的数列。这个数列叫做斐波那契数列。

如下：

   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

       斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

上面的上楼梯问题可改编为如下两个问题。

例2.有8根火柴，如果规定每步只能从中取1根或2根，最后把这8根全部取完共有______种不同的取法．

这道题的答案和解法全都和例1是一样，仍然得34。取一根火柴，相当于走了一级台阶，取2根火柴相当于走了二级台阶。最后全部取完相当于走完了全部的8级台阶。

例3.有一楼梯共8级，如果规定每步只能跨上一级或两级或三级，要登上8级台阶共有______种不同走法．

根据题意列表如下：

级数	1	2	3	4	5	6	7	8
走法	1	2	4	7	13	24	44	81

这次加入了每次可以走三级，

列举法找规律如下：

如果总的级数是1，共1种走法；

如果总的级数是2，共2种走法；

如果总的级数是3，共4种走法；

如果总的级数是4，共7种走法；（1+2+4）

如果总的级数是5，共13种走法；（2+4+7）

形成如下数列：

1,2,4,7,13,24,44……可知从7开始每个数等于它前边三个数的和。