2020个连续的自然数相加，和是奇数还是偶数？为什么？

（感谢项老师邀请！）

答案：偶数；

原因：

以 自然数 m 开头的连续 r (> 0) 个自然数，组成如下序列：

a₀, a₁, ..., aᵣ₋₁

这其实是一个等差为1的等差数列。

其中，每一项：

aᵢ = m + i （0 ≤ i ≤ r - 1） ⑴

令 S 是它们之和，即，

S = a₀ + a₁ + ... + aᵣ₋₁

根据 加法交换律，可以将相加顺序反过来，有：

S = aᵣ₋₁ + aᵣ₋₂ + ... + a₀

进而有：

2S = S+S = (a₀ + aᵣ₋₁) + (a₁ + aᵣ₋₂) + ... + (aᵣ₋₁ + a₀)

对于任意 0 ≤ i ≤ r - 1，根据 ⑴，有：

(aᵢ + aᵣ₋₁₋ᵢ) = m + i + m + r - 1 - i = 2m + r - 1

将上面结果全部带入 等式 ⑵ 右边， 得到：

2S = (2m + r - 1) + (2m + r - 1) + ... + (2m + r - 1) = r(2m + r - 1)

于是最终得到：

S = r(2m + r - 1) / 2

也就是 S = rm + r(r-1)/2，这符合 等差数列求和公式。

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项老师的问题是 r = 2020 的情况，这时：

S = 2020(2m + 2020 - 1)/2 = 1010(2m + 2019)

因为 1010 是偶数，而 偶数乘以任何非零自然数都是偶数，因此得到答案：

2020个连续的自然数相加，和是偶数。

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推而广之。

当 r = 2k 是偶数时，有：

S = 2k(2m + 2k - 1)/ 2 = 2(km + k²) - k，

其中 2(km + k²) 是偶数，根据 任何数加偶数奇偶性不变，故 S 的奇偶性 和 k 保持一致。于是得到如下结论：

• r 是偶数的倍数时，S 是偶数； r 是奇数的倍数时，S 是奇数；
  

当 r = 2k + 1 是奇数时，有：

S = (2k+1)(2m + 2k + 1 - 1)/ 2 = (2k+1)(m + k ) = 2(km + k²) + (m + k)

显然，S 和 m + k 奇偶性一致，于是得到如下结论：

• r 是偶数的倍数加一时，S 和 m 的奇偶性一致；r 是奇数的倍数加一时，S 与 m 的奇偶性相反（这里，根据 任何数加奇数奇偶性改变）；

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（我写的复杂，如果不喜欢，则其它老师有更简单的回答，大家可以参考。最后，祝愿，各位老师和朋友，大家 国庆节快乐！）