如何借助几何直观将复杂的数学问题变得简单，明了？

如何借助几何直观将复杂的数学问题变得简单，明了？

说起来很轻松，这其实是个大问题。从数学教育的角度来看，它实际是数学教育所要形成的核心素养之一：直观想象。

直观想象主要指借助空间想象感知事物的形态与变化,利用几何图形理解和解决数学问题。主要包括利用图形描述数学问题,启迪解决问题的思路,建立形与数的联系,加深对事物本质和发展规律的理解和认知。

直观想象，在实际教学中，通常表现为以下四个方面的能力：

• 利用图形描述数学问题
  

• 利用图形理解数学问题 
  
• 利用图形探索和解决数学问题
  
• 构建数学问题的直观模型

要想借助几何直观将复杂的数学问题变得简单，明了，必须具备以上这四方面的能力。

一。利用图形描述数学问题

有时候，一些数学问题（特别是应用型问题）是用文字进行描述的，就需要把文字转化为图形（画图）。将问题通过几何直观描述出来，加深对问题的理解，获得解决思路。

我们看一个简单的例子。

快递小哥从公司出发，先向西骑行5km到达A地，继续向西骑行3km到达B地，然后又向东骑行10km到达C地，然后回到公司。问A，B，C三地各相距多远？快递小哥骑行的距离是多少？

通过分析题意，发现用数轴模型来直观描述题意是个好想法（如下图1）。

图1

将问题用数轴描述，即以向东方向为正方向，以公司为原点O，建立数轴。则按题意获得A，B，C三点的坐标点，从而求三点之间距离，骑行距离就是求三条线段OB,BC,OC之和。

二。利用图形理解数学问题

利用几何图形，理解解释数学问题，通常获得数学问题的几何意义。

比如，初中所学完全平方公式（a+b）^2=a^2+b^2+2ab，作为初中代数中的重要公式，其几何含义是什么？就可以用下列图形解释：边长为a+b的正方形，用两条互相垂直的直线分割为四部分：边长分别为a，b的正方形各1个和2个长宽分别为a，b的矩形（如下图2）。根据其分割前后的面积相等，即得（a+b）^2=a^2+b^2+2ab。

利用几何图形对代数公式作出解释是初中数学中常用的方法。

图2

三。利用图形探索和解决数学问题

用图形探索数学问题的数量关系，空间关系及其变化规律，是获得问题解决的常用手段，并且解决问题的过程直观明了，有时甚至是出奇制胜。请看下图3：

图3

我相信很多人明白下图所表达的含义：用两个（绿色，红色）正方形可以拼成一个大正方形，

用字母表示就是：a^2+b^2=c^2，其中a，b，c分别是三个正方形的边长，同时也是直角三角形的三边。这个图叫“青朱出入图”，魏晋时期刘徽发明的，它是勾股定理的无字证明。

四。构建数学问题的直观模型

直观想象，直观是基础，想象是延伸。它是一种思维形式，更是发现问题、分析问题、解决问题的常用手段。通过直观想象探寻解决思路，进行数学推理，构建数学模型，可以把看似毫无关联的事物联系起来。

比如这样一个数学问题：任意说出三个正数，以这三个数为边长构成三角形的概率是多少?该三角形是钝角三角形的概率有多大？

这个问题好像没办法直接去求，但我们可以通过一系列的分析，借助几何直观，建立数学模型，直接计算，并设计数学试验来验证。

一般人都知道以下两个数学事实：

• 事实1 不是任意长度的三条线段就可以构成三角形的；
  

• 事实2 不是任意三角形都是钝角三角形的；

这两个事实说明，无论是构成三角形，还是构成的三角形是钝角三角形，都是要有条件的。要解决这个问题就必须先要弄清楚这些条件，这些条件是什么呢？

以下两个条件，一般初中生都知道：

设任意三个正数为a，b，c，且a≤b≤c，则以这三个数为边长能够构成钝角三角形的条件是

• 条件1 a+b>c（构成三角形）

• 条件2 a^2+b^2<c^2（构成的三角形是钝角三角形）
  

这两个条件必须同时满足，缺一不可！

进一步分析知道，这两个条件等价于：a/c+b/c>1且（a/c）^2+（b/c）^2<1，

设x=a/c，y=b/c，这进一步简化为x+y>1且x^2+y^2<1，此处0<x≤1,0<y≤1。

而x+y>1且x^2+y^2<1，给我们的直观想象是什么？

如果你不能想象的话，就想象一下x+y=1且x^2+y^2=1表示的图形（象）吧。

直线和圆呗！

因而x+y>1表示直线x+y=1的上方，x^2+y^2<1表示圆x^2+y^2=1的内部，而0<x≤1,0<y≤1表示一个正方形的内部。这样正方形的一条对角线将正方形等分，如下图4，其右上区域，表示满足条件1，弓形区域表示条件1和条件2同时满足。

因而建立计算模型：

所求概率=相应区域与单位正方形的面积之比。

因为单位正方形的面积=1,

计算模型简化为：

所求概率=相应区域的面积。

因此，以任意三个正数为边长，构成三角形的概率=0.5，构成钝角三角形的概率

=(π-2)/4≈0.285。

图4

设计数学试验进行验证：

a，b，c是随机正数，则x，y就是0~1之间随机数，因而点（x，y）就是单位正方形内随机点，当随机点落在正方形右上区域时，满足条件1，可以构成三角形；当这些随机点，落在弓形区域内时，同时满足条件1，2,可以构成钝角三角形。下图是按照此原理设计的数学试验模型，可以来验证计算结果，甚至可以利用此模型来测量圆周率PI的值。这种测量圆周率PI的方法，在数学上叫做蒙的卡罗方法。

需要说明的是这个试验，可以用掷骰子来替代随机点。因而看似风马牛不相及的两件事：构成三角形的概率与掷骰子，通过直观想象建立适当的几何模型联系在一起获得解决。

结语

数学中形与数之间的联系具有高度的抽象性，通过几何直观，数形结合，将复杂的数学问题变得简单，明了，不仅是数学六大核心素养之一：直观想象在解决数学问题中体现，更是其他五个核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算，数据分析的综合作用，所以将数学六大核心素养落实于数学教学中，以数学问题为载体，关键还是在培养学生的思维能力、综合分析问题和解决问题能力。