解题研究 | 形如 a m·b 型结构最小值问题（阿波罗尼斯圆和胡不归两类问题）

文章转自：初中数学综合题的教与学；作者：刘护灵

开篇：学问学问，就是边学边问，边问边学。没有问题，或者提不出问题，或者害怕提出新问题，或者只会短时间的按照已有的模式套路解决已有的问题，而不能解决暂时无套路的新问题，正是应试教育的悲哀，也是为考而教的不足，泯灭的可能是学生个人甚至民族的创造力。

有些社会补习机构把数学解题学习异化为“记模型”“练模型”“套模型”的应试训练，表面上可以对付平时的考试（因为平时的考试出题时没有像出中高考题需要数位专家长达1月以上的出新题的过程），由此带来学生的思维固化。基于此，笔者在2016年申报了一个课题《在科雅育人的理念下培养学生的数学创新思维》，在2018年结题，但是研究并未结束。本公众号当时就为这个课题而建设。现在继续开展这个课题的研究。

出发点：数学教学离不开解题教学。但解题教学要在解决问题中实现数学育人的功能。

一、问题背景

“a + m·b”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点． 当m值为1 时，即可转化为“a + b”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理．

而当 m 取任意不为1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路．

此类问题的处理通常以动点 P 所在图像的不同来分类，一般分为 2 类研究． 即点 P 在直线上运动( 胡不归) 和点 P 在圆( 阿氏圆) 上 运动． 先来看看何为“阿氏圆”． 

（阿波罗尼斯（约前 ２６２～约前 １９０），古希腊人，数学家．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，阿波罗尼斯圆即来源于其中的几何问题．）

二、预备知识

这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆

令人好奇的问题1：如何在ggb或几何画板中，直接作出阿氏圆？

笔者探索许久，得到两种方法：

一个是代数法（先建系），一个几何法（圆截取）

效果图：

那么如何证明这个点P的轨迹是一个圆？

对于初中学生，需要用两次角平分线定理，但学生可能理解上有一定的困难。

对于高中学生，可以建系利用解析几何的方法来证明。

所以这个内容是放在高中才学的，但是现在部分省市有时中考也考阿氏圆（其实不应该啊）。

典型例题和变式：

例1:如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+1/2BP的最小值.

(1)尝试解决:为了解决这个问题，下面给出解题思路:

如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，

则有CD/CP=CP/CB=1/2，

又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP.

∴PD/BP=1/2，∴PD=1/2BP，

∴AP+1/2BP=AP+PD.

接下来就容易了

当A、P、D三点共线时，AP+PD最小，即最小值为AD的长根号下37.

反思1：在CB上取点D，使CD=1这个是怎么想到的？本质是什么？

实际上，构造△PCD∽△BCP，把1/2BP转化为PD是关键所在.

(2)自主探索:在“问题提出”的条件不变的情况下，

1/3AP+BP的最小值为——.

(3)拓展延伸:已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值——.

 实战分析

 

动画理解题意：

解决：

套路总结

（看看，本来没有套路，研究的人多了，总结出套路来了。）

（总结出套路没什么不对，解析几何的“建，设，限，代，化”不是也是套路吗？根据皮连生教授广义教与学的理论，学习解题步骤就是掌握一种高级规则）

阿氏圆基本解法：构造相似

后续：阿氏圆的问题是不是应该放在高中更加合适？

结论：

1.到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是阿波罗尼斯圆。

2.到两定点的距离之和为定值(比这两点之间的距离要大)的点的轨迹是椭圆。

3.到两定点的距离之差为定值(比这两点之间的距离要小)的点的轨迹是双曲线。

4.到两定点的距离之积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线。

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