学科点睛系列2-动点轨迹中的殊途同归

【直接上题】

题目中问 y 与 x之间的函数表达式，即判断动点 C 的轨迹求解。因为初中不研究圆和椭圆方程，这个问法已经降低了答题难度，初步确认是线轨迹问题。那我们该如何应对此题呢？下面我从三个角度为大家做讲解分析。（讲解中省略了 x 的取值范围，考试中不要忘了写）

【解法 1】首先我们从题目中最引人注目的条件入手，等边三角形 ABC，关于动态的等边三角形问题，各位比较熟悉的题目是手拉手模型求最值，通过构造等边三角形与已知等边三角形手拉手，使用手拉手相应结论求解即可。所以我们此题同样尝试构造手拉手模型。如下图所示：

我们构造出手拉手模型，△AOC'为等边三角形与动态的△ABC 手拉手，关于手拉手模型常见的结论有，一组全等三角形，新三边夹角等于顶角，角平分线等等。

我们一起观察一下这几条结论，新三边 C'C 与 OB 所在直线的夹角始终等于 60°，即 C 点运动轨迹为与 x 轴夹角为 60°的直线。易得直线的斜率 k，并过 C'(0,2)，证毕。

【解法 2】在我们最初学习全等证明时有一种模型叫三垂直模型，也叫一线三等角。在初三学习相似三角形之后，之前熟悉的全等模型，全部升级为相似，三垂直模型相似，半角模型相似，手拉手模型相似等，原因是全等是相似比为 1:1 的相似。这样许多动态问题可以用模型相似来解决。如下图所示：

学生可以自我探究是否可以通过 A 点作三垂直模型求解，若不能为什么？若能如何做？深度思考大于解法的学习。

【解法 3】关于动点轨迹题目的解法，我个人比较偏爱'主从联动'，会此招，秒杀一片。主从联动可以解决绝大多数的轨迹题目，无论是线轨迹还是圆轨迹均可，非常适用于'直接写出答案'的题目。

主从联动的原理是相似，我们绕开相似的论证过程，直接利用结论。此题中，主动点是 B点，从动点是 C(从动点是受主动点直接影响的动点)，即因为 B 点动所以 C 点动。（壁咚！̂_^）根据结论，因为主动点 B 运动轨迹是直线，所以 C 点的运动轨迹也是直线。那么我们只需要取两个我们好算的 C 点，直接求直线解析式即可。我选择了，C'(0,2)和 OA=OB 时的 C 点。

主从联动的方法优势在于，绕开了许多证明环节，简化了思考过程，简单直接的解决问题，是解决中考压轴题的利器。

综上所述，通过三种不同的角度分析此题，想必各位同学对于数学解题中的方法与想法有了更深刻的体会。积跬步以至千里，感谢各位阅读此文，希望对同学们的数学有所帮助。