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本题是2017年日照市七年级下册期末试题，今年我们把这套题作为期末考前模拟题，这套题整体难度一般，我们只对第19题作详细解析。 原题再现 第19题：如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a//b，∠1=66°，求∠2的度数。 此题当中有一组平行线，存在平行线时，我们要考虑三线八角，过点B作a的平行线l，这样就把各个角用三线八角联系在一起，下面先给出我的证明。 解法1： 如上图，过点B作a的平行线l ∵a//l//b ∴∠1=∠3=66° ∠5=∠4=∠ABC-∠3=90°-66°=24° 又∠BCD=90° ∴∠2=90°-∠5=66° 注：上述证明可以说是通法，双星试验学校七年级学生孙文晓、周晓慧、丁凯、陈涛、赵长正、左秋艳、段相雪、赵晨曦、丁义芳、赵以凯、辛凤妮、宋懿鹏均采用上述解法。 解法2：（杨琦琦、丁聪颖、赵善坤） 延长CD交a于点E ∵AB//CD ∴∠3=∠1=66° ∵a//b ∴∠2=∠3=66° 注：这是第二种解法，此解法由学生杨琦琦、丁聪颖、赵善坤在模考时独立给出，大道至简。  解法3：（赵昌鑫） 延长AD交b于点E 故∠3=90°-∠1=24° ∵a//b ∴∠4=∠3=24° ∴∠2=90°-∠4=66° 注：本解法由学生赵昌鑫在模考时给出，本质和解法2相同。  解法4：（宋善成） 辅助线如上图所示 ∵a//b ∴∠3=∠4 ∵∠ABE=∠BCD=90° ∴∠2=180°-∠BCD-∠4=180°-∠ABE-∠3=∠1 注：此法甚妙，利用平角和三角形内角和定理均为180°导角，这种恒等变换在几何证明中应用较为广泛，此绝妙解法由学生宋善成在模考时给出。  解法5：（王君强） 连接AC ∵a//b ∴∠1+∠3=∠2+∠4 又AB//CD ∴∠3=∠4 ∴∠2=∠1=66° 注：此精彩解法由学生王君强在模考时给出，利用三线八角作差得之。  解法6：（王君强） 先证明一个引理，如上图所示，∠A+∠B=∠ACB 引理证明： 过点C作AD平行线GF 易知∠A=∠ACG，∠B=∠BCG ∴∠A+∠B=∠ACG+∠BCG=∠ACB  下面证明原题，如上图所示 由引理知，∠1+∠3=∠B=90° 又∠2+∠3=90° ∴∠2=∠1=66° 注：上述证明是在我给学生讲本题时，与学生交流过程中，学生王君强在课堂上给出，至于引理也并不是无源之水，无本之木，而是在七下课本配套练习册最后期末模拟试题中作为压轴题出现，能够明白学过的模型讲的是什么是一重境界，能够独立的给出模型的证明是二重境界，而能够应用学过的模型解决新问题，这种转化与化归的思想方法乃最高境界，如老叟戏顽童，秋风扫落叶，扫地僧之功可见一斑。  解法7：（马文卿） 辅助线如图所示 ∵∠1=66° ∴∠3=90°-66°=24° ∴∠4=180°-24°=156° ∴∠5=360°-90°-156°=114° ∴∠2=180°-∠5=66° 注：此种证明亦是在讲解本题时，由学生马文卿在课堂上给出，这种解法可谓诡异的很，独辟蹊径，先作出一条貌似无关的垂线EF，然后从点D往EF上再引垂线，通过四边形内角和360°两次导角，可谓灵光乍现神来之笔，这种发散思维值得认真学习。  解法8：（周晓慧） 辅助线如图所示，作∠BCD角平分线CE交AD、a于点F、E ∵∠1=66° ∴∠6=90°-66°=24° 又∠3=45° ∴∠5=∠4=45° ∴∠7=180°-∠6-∠5=111° ∵a//b ∴∠2+∠3=∠7=111° ∴∠2=111°-∠3=66° 注：本解法是在讲解完本题之后，周晓慧同学又独立思考，给出了另一种漂亮的解法。周晓慧同学愈战愈勇，考虑马文卿的解法7的神来之笔垂线EF太神秘，令人琢磨不定云里雾里，故考虑将垂线EF移至过B点，即下面解法9.  解法9：（周晓慧） 辅助线如图所示 ∵∠1=66° ∴∠3=90°-66°=24° ∴∠4=90°-24°=66° ∴∠5=90°-66°=24° ∴∠2=90°-24°=66° 注：与此同时，丁聪颖同学也在考虑马文卿解法7过于诡异，故将垂线EF移至点A，得到解法10.  解法10：（丁聪颖） 辅助线如图所示 ∵∠1=66° ∴∠3=90°-∠1=24° ∴∠5=∠4=90°-∠3=66° ∴∠6=90°-∠5=24° ∴∠2=90°-∠6=66° 注：实际上，解法10中△AEB与△CEF构成“八字导角”模型，因为∠4=∠5，∠B=∠AFC=90°，由模型知∠6=∠3=90°-∠1=24°，从而∠2=90°-∠6=66°。上述三种证明由周晓慧、丁聪颖同学经过认真思考得出的解法，这种认真钻研的精神值得鼓励，从多角度多方面切入，对已知解法不断优化、变通，对训练几何作辅助线思维进益匪浅。 小结： 关于平行线问题，解决方法虽然有别，但是本质都是利用平行线的三线八角，辅助线的做法各有千秋，无优劣之分，本题考查综合利用第五章相交线与平行线分析和解决几何题的能力，属于基础题，几何其优美之处就在于辅助线的构造不同进而解法不同，根据学生能力不同，解法思路较宽泛，灵活多变，可自由驾驭，本题前三种解法较常见，宋善成的解法4与王君强的解法5格外精彩，最后在课堂中王君强和马文卿得到的解法6与解法7亦是别有一番风味，值得细细把玩，最后由周晓慧、丁聪颖同学进一步思考从而给出优化版解法，感谢各位同学的奉献，作为教师的我，也是非常感动，没想到一道期末几何真题竟有如此多的思考，可见同学们对数学的热爱，对数学的执着，对数学报之以歌，只要肯钻研，肯思考，必能在数学世界里博一方天地。 |
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