 废话不多说，还是来做题，一定要充分地独立思考，尽量一题多解，最后再看答案进行总结和反思。  证法一 我们常说数形结合，除了以形助数还有以数解形，将几何问题中长度、角度或面积关系表达成代数式，通过计算(比例、勾股定理等)或解方程达到证明的目的。 平几解题我本人更擅长代数法，是以看到题目第一个感觉就是条件都和线段长度有关，而要证明BP=CQ相当于证明AP=DQ，刷题的经验让我联想到跟线段比例相关的梅涅劳斯定理，再结合两个中点条件，很快发现可以连接AC做桥梁。  证法二 当然梅涅劳斯定理对于中考是超纲的，那么跟线段比例有关还有什么不超纲的呢？相似一眼看不出，那就可以考虑作平行线。 那么在哪里做平行线呢？显然应该跟待证的BP和CQ上的点有关，再跟条件里两个中点联系一下就有了思路。  过B点C点分别做AD的平行线解法也一样（图1）。从ABCD分别作到QM的垂线，构造平行和全等，也可以将AP/BP与DQ/CQ联系起来（图2）。  1  2 证法三 其实对于线段比例，最本质的还是面积法，平行线分线段成比例就是用面积法证明的，还有塞瓦定理、梅涅劳斯定理等等都可以用面积法证明。 这道题用面积法会比作平行困难一点，不过也能锻炼你如何寻找条件和结论之间的联系。有空我再写点面积法的内容。  证法四 前面几种用比例计算的方法比较简洁，不过在此题中有个隐藏的关系没有揭示出来，即∠Q=∠BPM，而用纯几何的构造就很容易发现。 初中几何对初学者来说难点还是如何构造辅助线，还是需要多刷题多思考总结，理清构造辅助线的目的和相关的条件。要找到最合适的辅助线有些难度，但一旦发现，问题往往就迎刃而解，纯几何的解法形象直观，更为优雅。 解题时往往是综合法与分析法结合，两头凑，把条件结论一步步联系起来。分析法就是从结论出发，执果索因，本题中要证明BP=CQ，如何将BP与CQ联系起来？可以考虑构造全等三角形，构造平行四边形，截取等长线段等方法搭桥。综合法就是从条件出发，由因导果，中点能联想到什么？中垂线，中位线，中线等等。做了中垂线能得到什么结论？中位线又有什么性质？倍长中线目的是什么？ 例如M是中点可以试试倍长中线QM=FM，构造全等三角形，CQ=BF就与BP有了联系。条件AB=CD如何利用？同样可以转化到AB=EB，等腰对等角，那就可以去证明AE∥FQ。还有什么条件没用？AN=DN⇒中位线⇒平行。思路通了，具体的证明步骤可以根据自己习惯调整，比如证明里是作平行线构造全等三角形。  也可以作BF∥CQ，再作AE∥FQ，接着作EG∥AN，构造平行四边形AEGN（图1），或者倍长中线PM让CE=BP与CQ联系起来（图2），解法都是类似的，不再赘述。  1  2 证法五 本题条件中有两个中点，那么构造中位线也是非常合理的思路。中位线有什么性质？跟对应边平行，长度是其一半。再结合条件AB=CD以及代证的结论BP=CQ，那么连接AC或者BD再构造中位线是不错的选择，给个简略的证明。  证法六 构造当然也可以跟计算结合，例如本题可以构造平行出现线段比例，再通过全等把比例转移到待证结论中去。 一题多解目的之一是把题刷透，把能联想到的定理模型都回忆使用一下加深理解，梳理自己的知识体系；其次可以通过借鉴别人不同的思路拓展自己的解题思维。 以上不少思路来自微博和微信群的讨论，让我们一起来刷题吧！ 中学水平数学爱好者 欣赏数学之美 感受数学之趣 分享数学之思 |
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