一道等角共轭问题的两种解法

2022年6月4日，笔者参加了一场考试，有这样一道有关等角共轭的试题:

问题. 设  为  内的一对等角共轭点，  分别与  再次交于点  ，  在  上的投影分别为  ，求证：  共点.

在竞赛中，等角共轭似乎不常以这样直白的方式出现. 由于限制时间，我当场给出的证明是偏繁琐的，构造较多，走了不少弯路. 后来好友水稻点出了帕斯卡定理的思路，大大简化了过程. 我们也可以更加顺畅地推广这个简洁的问题. 

法一：比例线段构造

证明：如图，设  ，导角易证  ，过  作  平行线交  于  ，导角易证  ，故  ，所以 同理，设  ，有 

过  作  垂线与  交于点  ，则  ，又因为  ，所以  . 类似构造点  ，设  交于点  ，  交于点  ，则由梅涅劳斯定理，有  根据位似，  共点，即  共点.   

因为之前学习过纯几何吧4684等角共轭专题，所以笔者对这一构型中的比例关系比较熟悉(即证明中前两个比例式，出现在该专题的第一节). 在得到关系后，这道题已经褪去了等角共轭和外接圆的背景，于是试图通过比例线段证明共点，因此考场上未能注意到帕斯卡定理的存在. 构造  的用意是将两个相等的边比拼起来，还算自然，但在考场上梅涅劳斯的寻找用了我不少时间. 若从结论入手，以帕斯卡定理为核心的思路是比较自然的. 

法二：帕斯卡定理

证明：如图，设    ，由法一有 

设直线  分别与  再次交于点  ，由  显然有  ，结合  易证  ，同理  .

所以  ，故  交于  上(交点记为  ). 对圆内接六边形  用帕斯卡定理即有  共点，即  共点.   

事实上，要有  交于  上，只要  垂直的条件是不必要的，可有如下的推广：

推广. 设  为  内的一对等角共轭点，  分别与  再次交于点  ，点  在  上，使得  ，求证：  共点.

以上的两种方法对推广依然成立，法一中只需把  的构造方式根据  的方向做调整即可. 

近一年来因为学业压力，本公众号未有更新. 新的内容还在准备当中，姑且发出这道一年前的题目. 关于本号未来的更新计划，欢迎阅读第二篇图文《关于后期更新》.  感谢各位读者的支持！